Computing L-Functions: A Survey
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 3, pp. 699-726.

Nous donnons un certain nombre de methodes pour le calcul de fonctions L, y compris de degré strictement plus grand que 2. Nous décrivons le calcul des coefficients de Dirichlet en utilisant une grande variété de méthodes, par exemple l’utilisation de la formule de Gross–Koblitz p-adique, et le calcul de transformées de Mellin inverse et de fonctions gamma incomplètes généralisées. Nous mentionnons ensuite l’utilisation des équations fonctionnelles approchées lissées, et les “formules explicites”. Enfin, nous donnons un aperçu de la théorie relativement récente des motifs hypergéométriques, qui permettent de créer des fonctions L de grand degré de manière élémentaire.

Nous donnons aussi une brève liste des logiciels disponibles, y compris certains qui sont capable de détecter heuristiquement l’existence même de fonctions L ne connaissant que leurs facteurs gamma et leur conducteur. Comme applications, nous mentionnons en particulier la conjecture paramodulaire de Brumer–Kramer, et les gros calculs de formes de Maass sur SL n () pour n=2, 3 et 4 effectués par Farmer et al.

We survey a number of techniques for computing L-functions, including those of degree larger than 2. We discuss the computation of the Dirichlet coefficients using quite a variety of methods, for instance using the p-adic Gross–Koblitz formula, and the computation of inverse Mellin transforms and of generalized incomplete gamma functions. We then explain the use of smoothed approximate functional equations and of the so-called “explicit formulas”. Finally, we discuss the recent and exciting topic of hypergeometric motives, which allows to create L-functions of high degree in an elementary way.

We also mention the available software, including some which can detect heuristically the sheer existence of L-functions knowing only their gamma factors and conductor. As applications, we mention in particular the paramodular conjecture of Brumer–Kramer, and the large scale computations of Maass cusp forms for SL n () for n=2, 3, and 4 done by Farmer et al.

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DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.920
Classification : 11-04,  11Fxx,  11G40,  11Y35
Mots clés : L-functions, inverse Mellin transforms, approximate functional equation, explicit formulas, Gross–Koblitz formula.
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     author = {Henri Cohen},
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     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
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Henri Cohen. Computing $L$-Functions: A Survey. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 3, pp. 699-726. doi : 10.5802/jtnb.920. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.920/

[1] A. R. Booker, « Artin’s conjecture, Turing’s method, and the Riemann hypothesis », Experiment. Math. 15 (2006), no. 4, p. 385-407. | MR 2293591 | Zbl 1169.11019

[2] B. L. J. Braaksma, « Asymptotic expansions and analytic continuations for a class of Barnes-integrals », Compositio Math. 15 (1964), p. 239-341 (1964). | Numdam | MR 167651 | Zbl 0129.28604

[3] A. Brumer & K. Kramer, « Paramodular abelian varieties of odd conductor », . | MR 3165645

[4] H. Cohen, Advanced topics in computational number theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 193, Springer-Verlag, New York, 2000, xvi+578 pages. | MR 1728313 | Zbl 0977.11056

[5] H. Cohen & D. Zagier, « Vanishing and non-vanishing theta values », Ann. Math. Qué. 37 (2013), no. 1, p. 45-61. | MR 3117737

[6] T. Dokchitser, « Computing special values of motivic L-functions », Experiment. Math. 13 (2004), no. 2, p. 137-149. | MR 2068888 | Zbl 1139.11317

[7] D. Farmer, S. Koutsioliotas & S. Lemurell, « Maass forms on GL(3) and GL(4) », .

[8] G. Hiary, « Computing Dirichlet character sums to a power-full modulus », . | MR 3181649

[9] J.-F. Mestre, « Formules explicites et minorations de conducteurs de variétés algébriques », Compositio Math. 58 (1986), no. 2, p. 209-232. | Numdam | MR 844410 | Zbl 0607.14012

[10] C. Poor & D. Yuen, « Paramodular cusp forms », . | MR 3315514

[11] M. Rubinstein, « Computational methods and experiments in analytic number theory », in Recent perspectives in random matrix theory and number theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 322, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2005, p. 425-506. | MR 2166470 | Zbl 1168.11329