On special values of standard $L$-functions of Siegel cusp eigenforms of genus 3

Anh Tuan Do; Kirill Vankov

doi:10.5802/jtnb.921

On special values of standard

L

-functions of Siegel cusp eigenforms of genus 3

Anh Tuan Do ¹ ; Kirill Vankov ¹

¹ Institut Fourier, Université Grenoble I, 38402 Saint Martin D’Hères FRANCE

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 3, pp. 727-744.

Résumé
Abstract

Nous calculons explicitement les valeurs spéciales de la fonction $L$ standard $L (s, F_{12}, St)$ aux points critiques $s \in {- 8, - 6, - 4, - 2, 0, 1, 3, 5, 7, 9}$ , où $F_{12}$ est l’unique forme parabolique (à un scalaire près) de Siegel, de degré $3$ et de poids $12$ , qui a été construite par Miyawaki. Ces valeurs sont proportionnelles au produit des normes de Petersson du carré symétrique de la fonction $Δ$ de Ramanujan et de la forme parabolique de poids $20$ pour ${SL}_{2} (ℤ)$ avec un facteur rationnel et une certaine puissance de $π$ . Nous utilisons la méthode de Rankin-Selberg et la projection holomorphe pour calculer ces valeurs. A notre connaissance, c’est le premier exemple d’une fonction $L$ standard d’une forme parabolique de Siegel de degré $3$ où les valeurs spéciales peuvent être calculées explicitement.

We explicitly compute the special values of the standard $L$ -function $L (s, F_{12}, St)$ at the critical points $s \in {- 8, - 6, - 4, - 2, 0, 1, 3, 5, 7, 9}$ , where $F_{12}$ is the unique (up to a scalar) Siegel cusp form of degree $3$ and weight $12$ , which was constructed by Miyawaki. These values are proportional to the product of the Petersson norms of symmetric square of Ramanujan’s $Δ$ and the cusp form of weight $20$ for ${SL}_{2} (ℤ)$ by a rational number and some power of $π$ . We use the Rankin-Selberg method and apply the Holomorphic projection to compute these values. To our knowledge this is the first example of a standard $L$ -function of Siegel cusp form of degree $3$ , when the special values can be computed explicitly.

DOI : 10.5802/jtnb.921

Classification : 11F67, 11F46
Mots-clés : special values of

L

-functions, Siegel modular forms, Rankin-Selberg method

Affiliations des auteurs :

Anh Tuan Do ¹ ; Kirill Vankov ¹

¹ Institut Fourier, Université Grenoble I, 38402 Saint Martin D’Hères FRANCE

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Anh Tuan Do; Kirill Vankov. On special values of standard $L$-functions of Siegel cusp eigenforms of genus 3. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 3, pp. 727-744. doi : 10.5802/jtnb.921. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.921/

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