On special values of standard L-functions of Siegel cusp eigenforms of genus 3
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 27 (2015) no. 3, pp. 727-744.

We explicitly compute the special values of the standard L-function L(s,F 12 ,St) at the critical points s{-8,-6,-4,-2,0,1,3,5,7,9}, where F 12 is the unique (up to a scalar) Siegel cusp form of degree 3 and weight 12, which was constructed by Miyawaki. These values are proportional to the product of the Petersson norms of symmetric square of Ramanujan’s Δ and the cusp form of weight 20 for SL 2 () by a rational number and some power of π. We use the Rankin-Selberg method and apply the Holomorphic projection to compute these values. To our knowledge this is the first example of a standard L-function of Siegel cusp form of degree 3, when the special values can be computed explicitly.

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Nous calculons explicitement les valeurs spéciales de la fonction L standard L(s,F 12 ,St) aux points critiques s{-8,-6,-4,-2,0,1,3,5,7,9}, où F 12 est l’unique forme parabolique (à un scalaire près) de Siegel, de degré 3 et de poids 12, qui a été construite par Miyawaki. Ces valeurs sont proportionnelles au produit des normes de Petersson du carré symétrique de la fonction Δ de Ramanujan et de la forme parabolique de poids 20 pour SL 2 () avec un facteur rationnel et une certaine puissance de π. Nous utilisons la méthode de Rankin-Selberg et la projection holomorphe pour calculer ces valeurs. A notre connaissance, c’est le premier exemple d’une fonction L standard d’une forme parabolique de Siegel de degré 3 où les valeurs spéciales peuvent être calculées explicitement.

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DOI: 10.5802/jtnb.921
Classification: 11F67,  11F46
Keywords: special values of L-functions, Siegel modular forms, Rankin-Selberg method
Anh Tuan Do 1; Kirill Vankov 1

1 Institut Fourier, Université Grenoble I, 38402 Saint Martin D’Hères FRANCE
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Anh Tuan Do; Kirill Vankov. On special values of standard $L$-functions of Siegel cusp eigenforms of genus 3. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 27 (2015) no. 3, pp. 727-744. doi : 10.5802/jtnb.921. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.921/

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Cited by Sources: