On special values of standard $L$-functions of Siegel cusp eigenforms of genus 3

Anh Tuan Do; Kirill Vankov

doi:10.5802/jtnb.921

On special values of standard

L

-functions of Siegel cusp eigenforms of genus 3

Anh Tuan Do ¹; Kirill Vankov ¹

¹ Institut Fourier, Université Grenoble I, 38402 Saint Martin D’Hères FRANCE

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 27 (2015) no. 3, pp. 727-744.

Abstract
Résumé

We explicitly compute the special values of the standard $L$ -function $L (s, F_{12}, St)$ at the critical points $s \in {- 8, - 6, - 4, - 2, 0, 1, 3, 5, 7, 9}$ , where $F_{12}$ is the unique (up to a scalar) Siegel cusp form of degree $3$ and weight $12$ , which was constructed by Miyawaki. These values are proportional to the product of the Petersson norms of symmetric square of Ramanujan’s $Δ$ and the cusp form of weight $20$ for ${SL}_{2} (ℤ)$ by a rational number and some power of $π$ . We use the Rankin-Selberg method and apply the Holomorphic projection to compute these values. To our knowledge this is the first example of a standard $L$ -function of Siegel cusp form of degree $3$ , when the special values can be computed explicitly.

Nous calculons explicitement les valeurs spéciales de la fonction $L$ standard $L (s, F_{12}, St)$ aux points critiques $s \in {- 8, - 6, - 4, - 2, 0, 1, 3, 5, 7, 9}$ , où $F_{12}$ est l’unique forme parabolique (à un scalaire près) de Siegel, de degré $3$ et de poids $12$ , qui a été construite par Miyawaki. Ces valeurs sont proportionnelles au produit des normes de Petersson du carré symétrique de la fonction $Δ$ de Ramanujan et de la forme parabolique de poids $20$ pour ${SL}_{2} (ℤ)$ avec un facteur rationnel et une certaine puissance de $π$ . Nous utilisons la méthode de Rankin-Selberg et la projection holomorphe pour calculer ces valeurs. A notre connaissance, c’est le premier exemple d’une fonction $L$ standard d’une forme parabolique de Siegel de degré $3$ où les valeurs spéciales peuvent être calculées explicitement.

DOI: 10.5802/jtnb.921

Classification: 11F67, 11F46
Keywords: special values of $L$-functions, Siegel modular forms, Rankin-Selberg method

Author's affiliations:

Anh Tuan Do ¹; Kirill Vankov ¹

¹ Institut Fourier, Université Grenoble I, 38402 Saint Martin D’Hères FRANCE

@article{JTNB_2015__27_3_727_0,
     author = {Anh Tuan Do and Kirill Vankov},
     title = {On special values of standard $L$-functions of {Siegel} cusp eigenforms of genus~3},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {727--744},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {27},
     number = {3},
     year = {2015},
     doi = {10.5802/jtnb.921},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.921/}
}

TY  - JOUR
AU  - Anh Tuan Do
AU  - Kirill Vankov
TI  - On special values of standard $L$-functions of Siegel cusp eigenforms of genus 3
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2015
SP  - 727
EP  - 744
VL  - 27
IS  - 3
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.921/
DO  - 10.5802/jtnb.921
LA  - en
ID  - JTNB_2015__27_3_727_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Anh Tuan Do
%A Kirill Vankov
%T On special values of standard $L$-functions of Siegel cusp eigenforms of genus 3
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2015
%P 727-744
%V 27
%N 3
%I Société Arithmétique de Bordeaux
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.921/
%R 10.5802/jtnb.921
%G en
%F JTNB_2015__27_3_727_0

Anh Tuan Do; Kirill Vankov. On special values of standard $L$-functions of Siegel cusp eigenforms of genus 3. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 27 (2015) no. 3, pp. 727-744. doi : 10.5802/jtnb.921. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.921/

References
Cited by

[1] S. Böcherer, « Über die Funktionalgleichung automorpher $L$ -Funktionen zur Siegelschen Modulgruppe », J. Reine Angew. Math. 362 (1985), p. 146-168. | DOI | EuDML | MR | Zbl

[2] F. Chiera & K. Vankov, « On special values of spinor L-functions of Siegel cusp eigenforms of genus 3 », , 2008. | arXiv | DOI | MR

[3] M. Courtieu & A. Panchishkin, Non-Archimedean $L$ -functions and arithmetical Siegel modular forms, second ed., Lecture Notes in Mathematics, vol. 1471, Springer-Verlag, Berlin, 2004, viii+196 pages. | MR | Zbl

[4] P. Deligne, « Valeurs de fonctions $L$ et périodes d’intégrales », in Automorphic forms, representations and $L$ -functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1979, With an appendix by N. Koblitz and A. Ogus, p. 313-346. | MR | Zbl

[5] A. T. Do & K. Vankov, « Supplementary materials for the present article », DoVankov-suppl.pdf. | DOI

[6] B. H. Gross & D. B. Zagier, « Heegner points and derivatives of $L$ -series », Invent. Math. 84 (1986), no. 2, p. 225-320. | EuDML | MR | Zbl

[7] T. Ikeda, « Pullback of the lifting of elliptic cusp forms and Miyawaki’s conjecture », Duke Math. J. 131 (2006), no. 3, p. 469-497. | MR | Zbl

[8] W. C. W. Li, « $L$ -series of Rankin type and their functional equations », Math. Ann. 244 (1979), no. 2, p. 135-166. | EuDML | MR | Zbl

[9] T. Miyake, Modular forms, english ed., Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2006, Translated from the 1976 Japanese original by Yoshitaka Maeda, x+335 pages. | MR | Zbl

[10] I. Miyawaki, « Numerical examples of Siegel cusp forms of degree $3$ and their zeta-functions », Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ. Ser. A 46 (1992), no. 2, p. 307-339. | MR | Zbl

[11] A. A. Panchishkin, « Two variable $p$ -adic $L$ functions attached to eigenfamilies of positive slope », Invent. Math. 154 (2003), no. 3, p. 551-615. | MR | Zbl

[12] R. A. Rankin, « Contributions to the theory of Ramanujan’s function $τ (n)$ and similar arithmetical functions. I. The zeros of the function $\sum_{n = 1}^{\infty} τ (n) / n^{s}$ on the line $ℜ s = 13 / 2$ . II. The order of the Fourier coefficients of integral modular forms », Proc. Cambridge Philos. Soc. 35 (1939), p. 351-372. | MR

[13] J.-P. Serre, « Formes modulaires et fonctions zêta $p$ -adiques », in Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972), Springer, Berlin, 1973, p. 191-268. Lecture Notes in Math., Vol. 350. | MR | Zbl

[14] G. Shimura, « The special values of the zeta functions associated with cusp forms », Comm. Pure Appl. Math. 29 (1976), no. 6, p. 783-804. | MR | Zbl

[15] —, Elementary Dirichlet series and modular forms, Springer Monographs in Mathematics, Springer, New York, 2007, viii+147 pages. | DOI | MR

[16] J. Sturm, « Projections of $C^{\infty}$ automorphic forms », Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 2 (1980), no. 3, p. 435-439. | MR | Zbl

[17] D. Zagier, « Modular forms whose Fourier coefficients involve zeta-functions of quadratic fields », in Modular functions of one variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn, Bonn, 1976), Springer, Berlin, 1977, p. 105-169. Lecture Notes in Math., Vol. 627. | MR | Zbl

Cited by Sources: