Heights of roots of polynomials with odd coefficients
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 22 (2010) no. 2, pp. 369-381.

Soit α un zero d’un polynôme de degré n à coefficients impairs qui n’est pas une racine de l’unité. Nous montrons que la hauteur de α satisfait

h(α)0.4278n+1.

Plus généralement, nous obtenons des bornes dans le cas où chaque coefficient est congru à 1 modulo m, avec m2.

Let α be a zero of a polynomial of degree n with odd coefficients, with α not a root of unity. We show that the height of α satisfies

h(α)0.4278n+1.

More generally, we obtain bounds when the coefficients are all congruent to 1 modulo m for some m2.

Reçu le :
Révisé le :
Publié le :
DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.721
Classification : 11R09,  11C08,  11R06
Mots clés : Heights, Mahler measure, Lehmer’s problem
@article{JTNB_2010__22_2_369_0,
     author = {J. Garza and M. I. M. Ishak and M. J. Mossinghoff and C. G. Pinner and B. Wiles},
     title = {Heights of roots of polynomials with odd coefficients},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
     pages = {369--381},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux 1},
     volume = {22},
     number = {2},
     year = {2010},
     doi = {10.5802/jtnb.721},
     mrnumber = {2769068},
     zbl = {1239.11113},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.721/}
}
TY  - JOUR
AU  - J. Garza
AU  - M. I. M. Ishak
AU  - M. J. Mossinghoff
AU  - C. G. Pinner
AU  - B. Wiles
TI  - Heights of roots of polynomials with odd coefficients
JO  - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
PY  - 2010
DA  - 2010///
SP  - 369
EP  - 381
VL  - 22
IS  - 2
PB  - Université Bordeaux 1
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.721/
UR  - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2769068
UR  - https://zbmath.org/?q=an%3A1239.11113
UR  - https://doi.org/10.5802/jtnb.721
DO  - 10.5802/jtnb.721
LA  - en
ID  - JTNB_2010__22_2_369_0
ER  - 
J. Garza; M. I. M. Ishak; M. J. Mossinghoff; C. G. Pinner; B. Wiles. Heights of roots of polynomials with odd coefficients. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 22 (2010) no. 2, pp. 369-381. doi : 10.5802/jtnb.721. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.721/

[1] P. Borwein, E. Dobrowolski, and M. J. Mossinghoff, Lehmer’s problem for polynomials with odd coefficients. Ann. of Math. (2) 166 (2007), no. 2, 347–366. | MR 2373144 | Zbl 1172.11034

[2] A. Dubickas and M. J. Mossinghoff, Auxiliary polynomials for some problems regarding Mahler’s measure. Acta Arith. 119 (2005), no. 1, 65–79. | MR 2163518 | Zbl 1074.11018

[3] M. I. M. Ishak, M. J. Mossinghoff, C. G. Pinner, and B. Wiles, Lower bounds for heights in cyclotomic extensions. J. Number Theory 130 (2010), no. 6, 1408–1424. | MR 2643901 | Zbl pre05723357

[4] V. A. Lebesgue, Sur l’impossibilité, en nombres entiers, de l’équation x m =y 2 +1. Nouv. Ann. Math. (1) 9 (1850), 178–181. | Numdam

[5] W. Ljunggren, Einige Bemerkungen über die Darstellung ganzer Zahlen durch binäre kubische Formen mit positiver Diskriminante. Acta Math. 75 (1943), 1–21. | MR 17303

[6] T. Nagell, Des équations indéterminées x 2 +x+1=y n et x 2 +x+1=3y n . Norsk Matematisk Forening, Skr. Ser. I (1921), no. 2, 1–14.

Cité par Sources :