Heights of roots of polynomials with odd coefficients
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 22 (2010) no. 2, pp. 369-381.

Soit α un zero d’un polynôme de degré n à coefficients impairs qui n’est pas une racine de l’unité. Nous montrons que la hauteur de α satisfait

h(α)0.4278n+1.

Plus généralement, nous obtenons des bornes dans le cas où chaque coefficient est congru à 1 modulo m, avec m2.

Let α be a zero of a polynomial of degree n with odd coefficients, with α not a root of unity. We show that the height of α satisfies

h(α)0.4278n+1.

More generally, we obtain bounds when the coefficients are all congruent to 1 modulo m for some m2.

DOI : 10.5802/jtnb.721
Classification : 11R09, 11C08, 11R06
Mots clés : Heights, Mahler measure, Lehmer’s problem
J. Garza 1 ; M. I. M. Ishak 1 ; M. J. Mossinghoff 2 ; C. G. Pinner 1 ; B. Wiles 1

1 Department of Mathematics Kansas State University Manhattan, KS 66506
2 Department of Mathematics Davidson College Davidson, NC 28035-6996
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[1] P. Borwein, E. Dobrowolski, and M. J. Mossinghoff, Lehmer’s problem for polynomials with odd coefficients. Ann. of Math. (2) 166 (2007), no. 2, 347–366. | MR | Zbl

[2] A. Dubickas and M. J. Mossinghoff, Auxiliary polynomials for some problems regarding Mahler’s measure. Acta Arith. 119 (2005), no. 1, 65–79. | MR | Zbl

[3] M. I. M. Ishak, M. J. Mossinghoff, C. G. Pinner, and B. Wiles, Lower bounds for heights in cyclotomic extensions. J. Number Theory 130 (2010), no. 6, 1408–1424. | MR

[4] V. A. Lebesgue, Sur l’impossibilité, en nombres entiers, de l’équation x m =y 2 +1. Nouv. Ann. Math. (1) 9 (1850), 178–181. | Numdam

[5] W. Ljunggren, Einige Bemerkungen über die Darstellung ganzer Zahlen durch binäre kubische Formen mit positiver Diskriminante. Acta Math. 75 (1943), 1–21. | MR

[6] T. Nagell, Des équations indéterminées x 2 +x+1=y n et x 2 +x+1=3y n . Norsk Matematisk Forening, Skr. Ser. I (1921), no. 2, 1–14.

Cité par Sources :