Lower bounds for generalized unit regulators

James Sundstrom

doi:10.5802/jtnb.1020

James Sundstrom ¹

¹ Department of Mathematics Temple University Wachman Hall 1805 North Broad Street Philadelphia, PA 19122, USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 1, pp. 131-173.

Résumé
Abstract

En 1999 Friedman et Skoruppa ont introduit une méthode de minoration du régulateur relatif $Reg (L / K)$ d’une extension $L / K$ de corps de nombres. Ce régulateur est défini en utilisant le sous-groupe $E_{L / K}$ des unités relatives de $L / K$ . Puisque $Reg (L / K)$ apparaît dans la série $Θ_{E_{L / K}}$ associé à $E_{L / K}$ , toute inégalité entre $Θ_{E_{L / K}}$ et $Θ_{E_{L / K}}^{'}$ induit une minoration de ce régulateur. On peut appliquer la même méthode à d’autres sous-groupes $E$ du groupe des unités d’un corps de nombres $L$ . Dans cet article nous considérons le cas où $E = E_{L / K_{1}} \cap E_{L / K_{2}}$ , où $K_{1}$ et $K_{2}$ sont des corps quadratiques réels ; Le régulateur associé croît alors exponentiellement en fonction du degré de $L$ sur $ℚ$ .

In 1999, Friedman and Skoruppa published a method to derive lower bounds for the relative regulator of an extension $L / K$ of number fields. The relative regulator is defined using the subgroup $E_{L / K}$ of relative units of $L / K$ . It appears in the theta series $Θ_{E_{L / K}}$ associated to $E_{L / K}$ , so an inequality relating $Θ_{E_{L / K}}$ and $Θ_{E_{L / K}}^{'}$ provides an inequality for $Reg (L / K)$ . This same technique can be applied to other subgroups $E$ of the units of a number field $L$ . In this paper, we consider the case $E = E_{L / K_{1}} \cap E_{L / K_{2}}$ , where $K_{1}$ and $K_{2}$ are real quadratic fields; the corresponding regulator grows exponentially in $[L : ℚ]$ .

Reçu le : 2016-04-06
Révisé le : 2016-07-19
Accepté le : 2016-09-11
Publié le : 2018-05-14

MR Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.1020

Classification : 11R27
Mots clés : units, regulators, theta series

Affiliations des auteurs :

James Sundstrom ¹

¹ Department of Mathematics Temple University Wachman Hall 1805 North Broad Street Philadelphia, PA 19122, USA

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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James Sundstrom. Lower bounds for generalized unit regulators. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 1, pp. 131-173. doi : 10.5802/jtnb.1020. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1020/

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