Lower bounds for generalized unit regulators

James Sundstrom

doi:10.5802/jtnb.1020

James Sundstrom ¹

¹ Department of Mathematics Temple University Wachman Hall 1805 North Broad Street Philadelphia, PA 19122, USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 30 (2018) no. 1, pp. 131-173.

Abstract
Résumé

In 1999, Friedman and Skoruppa published a method to derive lower bounds for the relative regulator of an extension $L / K$ of number fields. The relative regulator is defined using the subgroup $E_{L / K}$ of relative units of $L / K$ . It appears in the theta series $Θ_{E_{L / K}}$ associated to $E_{L / K}$ , so an inequality relating $Θ_{E_{L / K}}$ and $Θ_{E_{L / K}}^{'}$ provides an inequality for $Reg (L / K)$ . This same technique can be applied to other subgroups $E$ of the units of a number field $L$ . In this paper, we consider the case $E = E_{L / K_{1}} \cap E_{L / K_{2}}$ , where $K_{1}$ and $K_{2}$ are real quadratic fields; the corresponding regulator grows exponentially in $[L : ℚ]$ .

En 1999 Friedman et Skoruppa ont introduit une méthode de minoration du régulateur relatif $Reg (L / K)$ d’une extension $L / K$ de corps de nombres. Ce régulateur est défini en utilisant le sous-groupe $E_{L / K}$ des unités relatives de $L / K$ . Puisque $Reg (L / K)$ apparaît dans la série $Θ_{E_{L / K}}$ associé à $E_{L / K}$ , toute inégalité entre $Θ_{E_{L / K}}$ et $Θ_{E_{L / K}}^{'}$ induit une minoration de ce régulateur. On peut appliquer la même méthode à d’autres sous-groupes $E$ du groupe des unités d’un corps de nombres $L$ . Dans cet article nous considérons le cas où $E = E_{L / K_{1}} \cap E_{L / K_{2}}$ , où $K_{1}$ et $K_{2}$ sont des corps quadratiques réels ; Le régulateur associé croît alors exponentiellement en fonction du degré de $L$ sur $ℚ$ .

Received: 2016-04-06
Revised: 2016-07-19
Accepted: 2016-09-11
Published online: 2018-05-14

MR Zbl

DOI: 10.5802/jtnb.1020

Classification: 11R27
Mots-clés : units, regulators, theta series

Author's affiliations:

James Sundstrom ¹

¹ Department of Mathematics Temple University Wachman Hall 1805 North Broad Street Philadelphia, PA 19122, USA

License:

CC-BY-ND 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

@article{JTNB_2018__30_1_131_0,
     author = {James Sundstrom},
     title = {Lower bounds for generalized unit regulators},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {131--173},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {30},
     number = {1},
     year = {2018},
     doi = {10.5802/jtnb.1020},
     zbl = {1408.11107},
     mrnumber = {3809713},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1020/}
}

TY  - JOUR
AU  - James Sundstrom
TI  - Lower bounds for generalized unit regulators
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2018
SP  - 131
EP  - 173
VL  - 30
IS  - 1
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1020/
DO  - 10.5802/jtnb.1020
LA  - en
ID  - JTNB_2018__30_1_131_0
ER  -

%0 Journal Article
%A James Sundstrom
%T Lower bounds for generalized unit regulators
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2018
%P 131-173
%V 30
%N 1
%I Société Arithmétique de Bordeaux
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1020/
%R 10.5802/jtnb.1020
%G en
%F JTNB_2018__30_1_131_0

James Sundstrom. Lower bounds for generalized unit regulators. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 30 (2018) no. 1, pp. 131-173. doi : 10.5802/jtnb.1020. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1020/

References
Cited by

[1] Handbook of Mathematical Functions (Milton Abramowitz; Irene Ann Stegun, eds.), Dover Publications, 1965

[2] Harry Bateman Higher Transcendental Functions. Vol. I–III, McGraw-Hill, 1953–1955 | Zbl

[3] Anne-Marie Bergé; Jacques Martinet Minorations de hauteurs de petits régulateurs relatifs, Sémin. Théor. Nombres, Univ. Bordeaux, Volume 16 (1988) | Zbl

[4] Anne-Marie Bergé; Jacques Martinet Notions relatives de régulateurs et de hauteurs, Acta Arith., Volume 54 (1989) no. 2, pp. 155-170 | DOI | Zbl

[5] Anne-Marie Bergé; Jacques Martinet Sur les minorations géométriques des régulateurs, Séminaire de théorie des nombres (Progress in Mathematics), Volume 81, Birkhäuser, 1990, pp. 23-50 | Zbl

[6] Nicolaas Govert de Bruijn Asymptotic Methods in Analysis, Bibliotheca Mathematica, 4, North-Holland, 1958, xii+200 pages | MR | Zbl

[7] Antone Costa; Eduardo Friedman Ratios of regulators in totally real extensions of number fields, J. Number Theory, Volume 37 (1991) no. 3, pp. 288-297 | DOI | MR | Zbl

[8] Eduardo Friedman; Nils-Peter Skoruppa Relative regulators of number fields, Invent. Math., Volume 135 (1999) no. 1, pp. 115-144 | DOI | MR | Zbl

[9] George Pólya; Gábor Szegő Problems and Theorems in Analysis. Vol. I: Series. Integral calculus. Theory of functions., Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, 193, Springer, 1972, xix+389 pages | MR | Zbl

Cited by Sources: