Valeurs zêta multiples. Une introduction
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 12 (2000) no. 2, pp. 581-595.

For positive integers ${s}_{1},\cdots ,{s}_{k}$ with ${s}_{1}\ge 2$, the series

 $\sum _{{n}_{1}>\cdots >{n}_{k}\ge 1}{n}_{1}^{-{s}_{k}}\cdots {n}_{k}^{-{s}_{k}}$
converges and its sum is denoted by $\zeta \left({s}_{1},\cdots ,{s}_{k}\right)$. In case $k=1$ this is nothing else than the value of the Riemann zeta function at the point ${s}_{1}$. What are the algebraic relations between these numbers? these numbers? The product of two multiple zeta values is again a multiple zeta value: this is easily checked by multiplying the two series, and using a shuffie» product. An example is
 $\zeta \left(2\right)\zeta \left(3\right)=\zeta \left(2,3\right)+\zeta \left(3,2\right)+\zeta \left(5\right),$
There are other quadratic relations between these numbers, which arise from another expression of $\zeta \left(\underline{s}\right)=\zeta \left({s}_{1},\cdots ,{s}_{k}\right)$ as a (Chen) iterated integral:
 $\zeta \left(\underline{s}\right)={\int }_{{\Delta }_{p}}{\omega }_{{ϵ}_{1}}\left({t}_{1}\right)\cdots {\omega }_{{ϵ}_{p}}\left({t}_{p}\right),$
with the following notation : $p={s}_{1}+\cdots +{s}_{k}$, the sequence $\left({ϵ}_{1},\cdots ,{ϵ}_{p}\right)$ of elements in {0, 1} is defined by writing the word
 ${x}_{0}^{{s}_{1}-1}{x}_{1}\cdots {x}_{0}^{{s}_{k}-1}{x}_{1}={x}_{{ϵ}_{1}}\cdots {x}_{{ϵ}_{p}}$
on the alphabet $X=\left\{{x}_{0},{x}_{1}\right\}$, the differential forms ${\omega }_{ϵ}$ are defined by
 ${\omega }_{0}\left(t\right)=\frac{dt}{t}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{et}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}{\omega }_{1}\left(t\right)=\frac{dt}{1-t}$
and ${\Delta }_{p}$ is the following simplex in ${ℝ}_{P}$:
 ${\Delta }_{p}=\left\{\underline{t}\in {ℝ}^{p};1>{t}_{1}>\cdots >{t}_{p}>0\right\}.$
Again this yields an expression of the product of two multiple zeta values as a linear combination of multiple zeta values, a simple example being
 $\zeta \left(2\right)\zeta \left(3\right)=\zeta \left(2,3\right)+3\zeta \left(3,2\right)+6\zeta \left(4,1\right).$
The main conjecture is that these two types of relations are sufficient to describe all algebraic relations between these numbers. This subject has deep connections with many other mathematical topics: combinatoric (the theory of quasisymmetric functions, Radford’s Theorem and Lyndon words), Lie and Hopf algebras, Écalle’s theory of resurgent series, Goncharov’s work on mixed Tate motives on Spec$ℤ$, polylogarithms, monodromy of differential equations, the fundamental group of the projective line minus three points and Belyi’s Theorem, the absolute Galois group of $ℚ$, the group of Grothendieck-Teichmüller, knots theory and Vassiliev invariants, $K$-theory, Feynman diagrams and quantum field theory, quasi-triangular quasi-Hopf algebras and Drinfeld’s associator ${\Phi }_{KZ}$ (related to the connexion of Knizhnik-Zamolodchikov).

Soit $\underline{s}=\left({s}_{1},\cdots ,{s}_{k}\right)$ un $k$-uplet d’entiers positifs avec $k\ge 1.$ Pour ${s}_{1}\ge 2$, la série

 $\sum _{{n}_{1}>\cdots >{n}_{k}\ge 1}{n}_{1}^{-{s}_{k}}\cdots {n}_{k}^{-{s}_{k}}$
converge et sa somme est notée $\zeta \left(\underline{s}\right)$. Dans le cas $k=1$ il s’agit simplement des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers positifs. Quelles relations algébriques existent entre ces nombres ? Le produit $\zeta \left({s}^{\text{'}}\right)\zeta \left({s}^{\text{'}\text{'}}\right)$ de deux valeurs de fonctions zêta multiples est une combinaison linéaire de $\zeta \left(\underline{s}\right)$, comme on le voit facilement en multipliant les séries : c’est le produit de mélange lié aux séries. D’autre part une autre expression pour le nombre $\zeta \left(\underline{s}\right)$ est donnée par une intégrale itérée (intégrale de Chen); cela fournit une autre relation quadratique exprimant de nouveau le produit $\zeta \left({s}^{\text{'}}\right)\zeta \left({s}^{\text{'}\text{'}}\right)$ comme une combinaison linéaire de $\zeta \left(\underline{s}\right)$ : c’est le produit de mélange lié aux intégrales. On conjecture que ces deux produits de mélange suffisent à décrire toutes les relations algébriques entre les nombres $\zeta \left(\underline{s}\right)$. Se pose alors le problème d’étudier l’algèbre engendrée par des générateurs (les multizêta symboliques) indexés par les $k$-uplets $\underline{s}$ et définie par les relations données par ces deux produits de mélange; on obtient ainsi l’algèbre MZV, dont Écalle est en train de déterminer la structure. Pour définir des séries génératrices permettant de coder simultanément tous les multizêta symboliques il convient d’inclure les $\underline{s}$ correspondant à des séries divergentes (avec ${s}_{1}=1$). Nous mentionnons enfin brièvement quelques résultats de l’équipe de Petitot sur les polylogarithmes, et encore plus brièvement plusieurs sujets connexes.

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