Congruences modulo between ϵ factors for cuspidal representations of GL(2)
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 2, pp. 571-580.

Titre français : Congruences modulo entre facteurs ϵ des représentations cuspidales de GL(2). Soient p deux nombres premiers distincts, F un corps local non archimedien de caractéristique résiduelle p,𝐐 ¯ une clôture algébrique du corps des nombres -adiques, et 𝐅 ¯ le corps résiduel de 𝐐 ¯ . On conjecture que la correspondance locale de Langlands pour GL(n,F) sur 𝐐 ¯ respecte les congruences modulo entre les facteurs L et ϵ de paires, et que la correspondance locale de Langlands sur 𝐅 ¯ est caractérisée par des identités entre de nouveaux facteurs L et ϵ. Nous allons le démontrer lorsque n=2.

Let p be two different prime numbers, let F be a local non archimedean field of residual characteristic p, and let 𝐐 ¯ ,𝐙 ¯ ,𝐅 ¯ be an algebraic closure of the field of -adic numbers 𝐐 , the ring of integers of 𝐐 ¯ , the residual field of 𝐙 ¯ . We proved the existence and the unicity of a Langlands local correspondence over 𝐅 ¯ for all n2, compatible with the reduction modulo in [V5], without using L and ϵfactors of pairs. We conjecture that the Langlands local correspondence over 𝐐 ¯ respects congruences modulo between L and ϵ factors of pairs, and that the Langlands local correspondence over 𝐅 ¯ is characterized by identities between new L and ϵ factors. The aim of this short paper is prove this when n=2.

@article{JTNB_2000__12_2_571_0,
     author = {Marie-France Vign\'eras},
     title = {Congruences modulo $\ell $ between $\epsilon $ factors for cuspidal representations of $GL(2)$},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {571--580},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {12},
     number = {2},
     year = {2000},
     zbl = {0974.11022},
     mrnumber = {1823203},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2000__12_2_571_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Marie-France Vignéras
TI  - Congruences modulo $\ell $ between $\epsilon $ factors for cuspidal representations of $GL(2)$
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2000
SP  - 571
EP  - 580
VL  - 12
IS  - 2
PB  - Université Bordeaux I
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2000__12_2_571_0/
LA  - en
ID  - JTNB_2000__12_2_571_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Marie-France Vignéras
%T Congruences modulo $\ell $ between $\epsilon $ factors for cuspidal representations of $GL(2)$
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2000
%P 571-580
%V 12
%N 2
%I Université Bordeaux I
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2000__12_2_571_0/
%G en
%F JTNB_2000__12_2_571_0
Marie-France Vignéras. Congruences modulo $\ell $ between $\epsilon $ factors for cuspidal representations of $GL(2)$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 2, pp. 571-580. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2000__12_2_571_0/

[D] P. Deligne, Les constantes des équations fonctionnelles des fonctions L. Modular functions of one variable II. Lecture Notes in Mathematics 340, Springer-Verlag (1973). | MR | Zbl

[GK] I.M. Gelfand, D.A. Kazhdan, Representations of the group GL(n, K) where K is a local field. In: Lie groups and Representations, Proceedings of a summer school in Hungary (1971), Akademia Kiado, Budapest (1974). | Zbl

[H1] G. Henniart, Caractérisation de la correspondance de Langlands locale par les facteurs ε de paires. Invent. math. 113 (1993), 339-350. | Zbl

[H2] G. Henniart, Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL(n) sur un corps p-adique. Prepublication 99-14, Orsay.

[HT] M. Harris, R. Taylor, On the geometry and cohomology of some simple Shimura varieties. Institut de Mathématiques de Jussieu. Prépublication 227 (1999). | Zbl

[JL] H. Jacquet, R.P. Langlands, Automorphic forms on GL(2). Lecture Notes in Math. 114, Springer-Verlag (1970). | MR | Zbl

[JPS1] H. Jacquet, I.I. Piatetski-Shapiro, J. Shalika, Rankin-Selberg convolutions. Amer. J. Math. 105 (1983), 367-483. | MR | Zbl

[JPS2] H. Jacquet, I.I. Piatetski-Shapiro, J. Shalika, Conducteur des représentations du groupe linéaire. Math. Ann. 256 (1981), 199-214. | MR | Zbl

[L] S. Lang, Algebra. Addison Wesley, second edition (1984). | MR | Zbl

[LRS] G. Laumon, M. Rapoport, U. Stuhler, D-elliptic sheaves and the Langlands correspondence. Invent. Math. 113 (1993), 217-238. | MR | Zbl

[M] J. Martinet, Character theory and Artin L-functions. In: Algebraic number fields, A. Frohlich editor, Academic Press (1977), 1-88. | MR | Zbl

[V1] M.-F. Vignéras, Representations modulaires d'un groupe réductif p-adique avec ≠ p. Progress in Math. 137 Birkhauser (1996). | MR | Zbl

[V2] M.-F. Vignéras, Erratum à l'article: Représentations modulaires de GL(2, F) en caractéristique , F corps p-adique, p ≠. Compos. Math. 101 (1996), 109-113. | Numdam | MR | Zbl

[V3] M.-F. Vignéras, A propos d'une correspondance de Langlands modulaire. Dans: Finite reductive groups, M. Cabanes Editor, Birkhauser Progress in Math 141(1997). | MR

[V4] M.-F. Vign, Integral Kirillov model. C.R. Acad. Sci. Paris Série I 326 (1998), 411-416. | MR | Zbl

[V5] M.-F. Vignéras, Correspondance de Langlands semi-simple pour GL(n, F) modulo ≠ p. Institut de Mathématiques de Jussieu. Prepublication 235 (Janvier 2000).