Cyclotomic quadratic forms
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 12 (2000) no. 2, pp. 519-530.

Voronoï ’s algorithm is a method for obtaining the complete list of perfect n-dimensional quadratic forms. Its generalization to G-forms has the advantage of running in a lower-dimensional space, and furnishes a finite, and complete, classification of G-perfect forms (G is a finite subgroup of GL(n,)). We study the standard, φ(m)-dimensional irreducible representation of the cyclic group C m of order m, and give the, often new, densest G-forms. Perfect cyclotomic forms are completely classified for φ(m)<16 and for m=17. As a consequence, we obtain precise upper bounds for the Hermite invariant of cyclotomic forms in this range. These bounds are often better than the known or conjectural values of the Hermite constant for the corresponding dimensions ; this is indeed the case for m=5,7,11,13,16,17,36. The complete results can be taken from http://www.unine.ch/math.

L’algorithme de Voronoï est un procédé permettant d’obtenir la liste complète des formes quadratiques positives parfaites à n variables. Sa généralisation aux G-formes permet de classer les formes G-parfaites, avec l’avantage de se dérouler dans un espace de dimension plus petite (G est un sous-groupe fini de GL(n,)). On étudie ici la représentation standard du groupe cyclique G=C m en dimension φ(m), de polynôme caractéristique Φ m (x) (polynôme cyclotomique). Une forme G-invariante est dite forme cyclotomique. Toute les formes G-parfaites sont données pour φ(m)<16, de même que pour m=17, où la forme cyclotomique la plus dense est entièrement nouvelle. On obtient ainsi une constante d’Hermite cyclotomique, qui s’avère être souvent meilleure que la constante d’Hermite habituelle. C’est le cas pour m=5,7,11,13,16,17,36, et vraisemblablement 32 (les calculs pour m=32 sont en cours, et ont déjà fourni 4600 formes C 32 -parfaites). Les résultats complets sont disponibles à http://www.unine.ch/math.

@article{JTNB_2000__12_2_519_0,
     author = {Sigrist, Fran\c cois},
     title = {Cyclotomic quadratic forms},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {12},
     number = {2},
     year = {2000},
     pages = {519-530},
     zbl = {0977.11029},
     mrnumber = {1823201},
     language = {en},
     url={jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2000__12_2_519_0/}
}
Sigrist, François. Cyclotomic quadratic forms. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 12 (2000) no. 2, pp. 519-530. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2000__12_2_519_0/

[Ba-Ba] C. Bachoc, C. Batut, Etude algorithmique de réseaux construits avec la forme trace. J. Exp. Math. 1 (1992), 183-190. | MR 1203873 | Zbl 0787.11024

[Bay-M] E. Bayer-Fluckiger, J. Martinet, Formes quadratiques liées aux algèbres semi-simples. J. reine angew. Math. 451 (1994), 51-69. | MR 1277294 | Zbl 0801.11020

[B-M] A.-M. Bergé, J. Martinet, Réseaux extrêmes pour un groupe d'automorphismes. Astérisque 198-200 (1992), 41-66. | Zbl 0753.11026

[B-M-S] A.-M. Bergé, J. Martinet, F. Sigrist, Une généralisation de l'algorithme de Voronoï pour les formes quadratiques. Astérisque 209 (1992), 137-158. | Zbl 0812.11037

[C-S] J.H. Conway, N.J.A. Sloane, Sphere Packings, Lattices, and Groups. Springer-Verlag (1992). | Zbl 0785.11036

[JCa] D.-O. Jaquet-Chiffelle, Enumération complète des classes de formes parfaites en dimension 7. Ann. Inst. Fourier 43 (1993), 21-55. | Numdam | MR 1209694 | Zbl 0769.11028

[JCb] D.-O. Jaquet-Chiffelle, Trois théorèmes de finitude pour les G-formes. J. Théor. Nombres Bordeaux 7 (1995), 165-176. | Numdam | MR 1413575 | Zbl 0843.11032

[Mar] J. Martinet, Les réseaux parfaits des espaces euclidiens. Masson (1996). | MR 1434803 | Zbl 0869.11056

[Vor] G. Voronoï, Sur quelques propriétés des formes quadratiques positives parfaites. J. reine angew. Math. 133 (1908), 97-178. | JFM 38.0261.01