Height and Weber’s Class Number Problem
Takayuki Morisawa1; Ryotaro Okazaki2
1 Division of Liberal Arts, Kogakuin University, 2665-1 Nakano, Hachioji, Tokyo, 192-0015, Japan
2 Junior Division, College of Arts and Sciences, The university of Tokyo, 3-8-1, Komaba, Meguro-ku, Tokyo, 153-8902, Japan
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 28 (2016) no. 3, pp. 811-828.

We discuss indivisibility by prime numbers ℓ of the class number of the n-th layer 𝔹 n of the cyclotomic ℤ p -extension of ℚ where p is an arbitrary fixed prime number.

We denote by h n the class number of 𝔹 n . Put q=4 if p=2 or q=p if p≥3. For positive integers f and s, let D(p,s,f) be the set of prime numbers ℓ satisfying the following two conditions: (1) the order of ℓ modulo q is f and (2) p s is the exact power of p dividing ℓ f -1. In this paper, we define an explicit function G(p,s,f) which depends only on p, s and f. We show that h n is indivisible by every prime number ℓ in D(p,s,f) with ℓ>G(p,s,f) for every non-negative integer n.

Nous étudions la non divisibilité par un nombre premier ℓ du nombre de classes h n du n-ième étage 𝔹 n de la ℤ p -extension cyclotomique de ℚ, où p est un nombre premier fixé. Posons q=4 si p=2 et q=p si p≥3 et notons D(p,s,f) l’ensemble des nombres premiers ℓ dont l’ordre modulo q vaut f et dont p s est la plus grande puissance de p divisant ℓ f -1. Dans cet article nous définissons une constante explicite G(p,s,f) ayant la propriété que chaque h n est non divisible par les ℓ dans D(p,s,f) tels que ℓ>G(p,s,f).

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DOI: 10.5802/jtnb.965
Classification: 11R06, 11R18, 11R29
Keywords: Class number, $\mathbb{Z}_p$-extension, Height of algebraic number.
Takayuki Morisawa 1; Ryotaro Okazaki 2

1 Division of Liberal Arts, Kogakuin University, 2665-1 Nakano, Hachioji, Tokyo, 192-0015, Japan
2 Junior Division, College of Arts and Sciences, The university of Tokyo, 3-8-1, Komaba, Meguro-ku, Tokyo, 153-8902, Japan 
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