Let be an infinite set of positive integers. Denote by the set of –tuples of real numbers simultaneously –well approximable by infinitely many rationals with denominators in but by only finitely many rationals with denominators in the complement of . The Hausdorff dimension of the liminf set is determined when and . A –adic analogue of the problem is also studied.
Soit un ensemble infini d’entiers naturels non nuls. Soit l’ensemble des –uplets de réels simultanément approchables à l’ordre par une infinité de rationnels dont les dénominateurs sont dans mais seulement par un nombre fini de rationnels dont les dénominateurs sont dans le complémentaire de . Nous déterminons la dimension de Hausdorff de l’ensemble liminf lorsque et . Un analogue –adique du problème considéré est également étudié.
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Keywords: Diophantine approximation, liminf sets, Hausdorff dimension.
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TY - JOUR AU - Faustin Adiceam TI - Liminf Sets in Simultaneous Diophantine Approximation JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux PY - 2016 SP - 461 EP - 483 VL - 28 IS - 2 PB - Société Arithmétique de Bordeaux UR - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.949/ DO - 10.5802/jtnb.949 LA - en ID - JTNB_2016__28_2_461_0 ER -
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Faustin Adiceam. Liminf Sets in Simultaneous Diophantine Approximation. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 28 (2016) no. 2, pp. 461-483. doi : 10.5802/jtnb.949. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.949/
[1] A. G. Abercrombie, « The Hausdorff dimension of some exceptional sets of -adic integer matrices », J. Number Theory 53 (1995), no. 2, p. 311-341. | DOI | MR | Zbl
[2] F. Adiceam, « A note on the Hausdorff dimension of some liminf sets appearing in simultaneous Diophantine approximation », Mathematika 59 (2013), no. 1, p. 56-64. | DOI | MR | Zbl
[3] V. Beresnevich, D. Dickinson & S. Velani, « Measure theoretic laws for lim sup sets », Mem. Amer. Math. Soc. 179 (2006), no. 846, p. x+91. | DOI | MR | Zbl
[4] V. Beresnevich, G. Harman, A. Haynes & S. Velani, « The Duffin-Schaeffer conjecture with extra divergence II », Math. Z. 275 (2013), no. 1-2, p. 127-133. | DOI | MR | Zbl
[5] A. S. Besicovitch, « Sets of Fractional Dimensions (IV): On Rational Approximation to Real Numbers », J. London Math. Soc. S1-9 (1934), no. 2, p. 126. | DOI | MR | Zbl
[6] I. Borosh & A. S. Fraenkel, « A generalization of Jarník’s theorem on Diophantine approximations », Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A Indag. Math. 75 (1972), p. 193-201. | DOI | Zbl
[7] Y. Bugeaud & A. Durand, « Metric Diophantine approximation on the middle–third Cantor set », Accepted in J. Eur. Math. Soc. | DOI | MR | Zbl
[8] R. J. Duffin & A. C. Schaeffer, « Khintchine’s problem in metric Diophantine approximation », Duke Math. J. 8 (1941), p. 243-255. | DOI | MR | Zbl
[9] K. Falconer, Fractal geometry, John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 1990, Mathematical foundations and applications, xxii+288 pages. | Zbl
[10] G. H. Hardy & M. Riesz, The general theory of Dirichlet’s series, Cambridge University Press, 1915. | Zbl
[11] V. Jarník, « Über die simultanen diophantischen Approximationen », Math. Z. 33 (1931), no. 1, p. 505-543. | DOI
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