In this paper we formulate a conjecture on the relationship between the equivariant -constants (associated to a local -adic representation and a finite extension of local fields ) and local Galois cohomology groups of a Galois stable -lattice of . We prove the conjecture for being at most tamely ramified and being a -adic Tate module of a one-dimensional Lubin-Tate group defined over by extending the ideas of [4] from the case of the multiplicative group to arbitrary one-dimensional Lubin-Tate groups. For the connection to the different formulations of the -conjecture in [1], [18], [4], [2] and [9], see [19].
Dans cet article, nous énonçons une conjecture sur les relations entre les constantes équivariantes (associées à des représentations locales -adiques et des extensions finies de corps locaux ) et les groupes de cohomologie galoisienne locale de , un -réseau stable de . Nous prouvons cette conjecture pour une extension au plus modérément ramifiée et pour un module de Tate -adique d’un groupe de Lubin-Tate de dimension un défini sur . Cette preuve généralise les idées dévelopées dans [4] dans le cas du groupe multiplicatif au cas d’un groupe de Lubin-Tate de dimension un quelconque. Pour les relations avec les différentes formulations des conjectures de [1], [18], [4], [2] et [9], voir [19].
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DOI: 10.5802/jtnb.950
Mots-clés : $\epsilon $-constants, local Galois cohomology, Lubin-Tate formal groups, Local Tamagawa Number Conjecture.
Dmitriy Izychev 1; Otmar Venjakob 1
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Dmitriy Izychev; Otmar Venjakob. Equivariant epsilon conjecture for $1$-dimensional Lubin-Tate groups. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 28 (2016) no. 2, pp. 485-521. doi : 10.5802/jtnb.950. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.950/
[1] D. Benois & L. Berger, « Théorie d’Iwasawa des représentations cristallines. II », Comment. Math. Helv. 83 (2008), no. 3, p. 603-677. | DOI
[2] W. Bley & D. Burns, « Equivariant epsilon constants, discriminants and étale cohomology », Proc. London Math. Soc. (3) 87 (2003), no. 3, p. 545-590. | DOI | Zbl
[3] S. Bloch & K. Kato, « -functions and Tamagawa numbers of motives », in The Grothendieck Festschrift, Vol. I, Progr. Math., vol. 86, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990, p. 333-400. | DOI | Zbl
[4] M. Breuning, « Equivariant epsilon constants for Galois extensions of number fields and -adic fields », PhD Thesis, King’s College London (UK), 2004.
[5] —, « Equivariant local epsilon constants and étale cohomology », J. London Math. Soc. (2) 70 (2004), no. 2, p. 289-306. | DOI | Zbl
[6] M. Breuning & D. Burns, « Additivity of Euler characteristics in relative algebraic -groups », Homology, Homotopy Appl. 7 (2005), no. 3, p. 11-36. | DOI | MR | Zbl
[7] D. Burns, « Equivariant Tamagawa numbers and Galois module theory. I », Compositio Math. 129 (2001), no. 2, p. 203-237. | DOI | Zbl
[8] —, « Equivariant Whitehead torsion and refined Euler characteristics », in Number theory, CRM Proc. Lecture Notes, vol. 36, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004, p. 35-59. | DOI | Zbl
[9] D. Burns & M. Flach, « Tamagawa numbers for motives with (non-commutative) coefficients », Doc. Math. 6 (2001), p. 501-570 (electronic). | Zbl
[10] —, « On the equivariant Tamagawa number conjecture for Tate motives. II », Doc. Math. (2006), no. Extra Vol., p. 133-163 (electronic). | Zbl
[11] D. Burns, B. Köck & V. Snaith, « Refined and -adic Euler characteristics of nearly perfect complexes », J. Algebra 272 (2004), no. 1, p. 247-272. | DOI | MR | Zbl
[12] J. Coates & R. Greenberg, « Kummer theory for abelian varieties over local fields », Invent. Math. 124 (1996), no. 1-3, p. 129-174. | DOI | MR
[13] P. Deligne, « Les constantes des équations fonctionnelles des fonctions », in Modular functions of one variable, II (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, Antwerp, 1972), Springer, Berlin, 1973, p. 501-597. Lecture Notes in Math., Vol. 349. | DOI
[14] J.-M. Fontaine, « Représentations -adiques semi-stables », Astérisque (1994), no. 223, p. 113-184, With an appendix by Pierre Colmez, Périodes -adiques (Bures-sur-Yvette, 1988). | Numdam
[15] J.-M. Fontaine & Y. Ouyang, « Theory of -adic Galois Representations », www.math.u-psud.fr/~fontaine/galoisrep.pdf, 2010.
[16] J.-M. Fontaine & B. Perrin-Riou, « Autour des conjectures de Bloch et Kato: cohomologie galoisienne et valeurs de fonctions », in Motives (Seattle, WA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 55, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, p. 599-706. | DOI | Zbl
[17] A. Fröhlich, Galois module structure of algebraic integers, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 1, Springer-Verlag, Berlin, 1983, x+262 pages. | Zbl
[18] T. Fukaya & K. Kato, « A formulation of conjectures on -adic zeta functions in noncommutative Iwasawa theory », in Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society. Vol. XII, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, vol. 219, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006, p. 1-85. | DOI | Zbl
[19] D. Izychev, « Equivariant -conjecture for unramified twists of », PhD Thesis, Heidelberg (Germany), 2012, http://www.ub.uni-heidelberg.de/archiv/13831. | Zbl
[20] D. Izychev & O. Venjakob, « Galois invariants of -groups of Iwasawa algebras », in New trends in noncommutative algebra, Contemp. Math., vol. 562, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, p. 243-263. | DOI | Zbl
[21] D. Loeffler, O. Venjakob & S. L. Zerbes, « Local epsilon isomorphisms », Kyoto J. Math. 55 (2015), no. 1, p. 63-127. | DOI | MR | Zbl
[22] J. Martinet, « Character theory and Artin -functions », in Algebraic number fields: -functions and Galois properties (Proc. Sympos., Univ. Durham, Durham, 1975), Academic Press, London, 1977, p. 1-87.
[23] J. Neukirch, A. Schmidt & K. Wingberg, Cohomology of number fields, second ed., Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 323, Springer-Verlag, Berlin, 2008, xvi+825 pages. | DOI
[24] J.-P. Serre, Cohomologie galoisienne, fifth ed., Lecture Notes in Mathematics, vol. 5, Springer-Verlag, Berlin, 1994, x+181 pages. | Zbl
[25] J. Tate, « Number theoretic background », in Automorphic forms, representations and -functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1979, p. 3-26. | DOI
[26] O. Venjakob, « From the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture to non-commutative Iwasawa theory via the equivariant Tamagawa number conjecture—a survey », in -functions and Galois representations, London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 320, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2007, p. 333-380. | DOI | Zbl
[27] —, « On Kato’s local -isomorphism conjecture for rank-one Iwasawa modules », Algebra Number Theory 7 (2013), no. 10, p. 2369-2416. | DOI | MR | Zbl
[28] S. Yasuda, « Local constants in torsion rings », PhD Thesis, University of Tokyo (Japan), 2001.
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