Galois action on special theta values
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 2, pp. 347-360.

On associe à un caractère de Dirichlet χ de conducteur N la série thêta θ χ (τ)= n n ϵ χ(n)e πin 2 τ/N (où ϵ=0 si χ est pair et ϵ=1 sinon). La valeur de la série en son point de symétrie sous la transformation τ-1/τ est liée, par l’égalité θ χ (i)=W(χ)θ χ ¯ (i), à la constante de l’équation fonctionnelle de la série L de χ. Elle peut être ainsi utilisée pour calculer efficacement la constante de l’équation fonctionnelle si celle-ci ne s’annule pas. En utilisant la loi de réciprocité de Shimura, on calcule l’action de Galois sur ces valeurs spéciales de fonctions thêta, avec N impair, normalisées par la fonction êta de Dedekind. On démontre des résultats expérimentaux de Cohen et Zagier et on obtient un résultat partiel sur la non-annulation de ces valeurs spéciales avec N premier.

For a primitive Dirichlet character χ of conductor N set θ χ (τ)= n n ϵ χ(n)e πin 2 τ/N (where ϵ=0 for even χ, ϵ=1 for odd χ) the associated theta series. Its value at its point of symmetry under the modular transformation τ-1/τ is related by θ χ (i)=W(χ)θ χ ¯ (i) to the root number of the L-series of χ and hence can be used to calculate the latter quickly if it does not vanish. Using Shimura’s reciprocity law, we calculate the Galois action on these special values of theta functions with odd N normalised by the Dedekind eta function. As a consequence, we prove some experimental results of Cohen and Zagier and we deduce a partial result on the non-vanishing of these special theta values with prime N.

Reçu le :
Révisé le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/jtnb.943
Classification : 11G15, 14K22, 14K25, 11M06
Mots clés : Theta functions, complex multiplication, L-series, Shimura’s reciprocity law.
Paloma Bengoechea 1

1 Department of Mathematics University of York York, YO10 5DD, United Kingdom
@article{JTNB_2016__28_2_347_0,
     author = {Paloma Bengoechea},
     title = {Galois action on special theta values},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {347--360},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {28},
     number = {2},
     year = {2016},
     doi = {10.5802/jtnb.943},
     mrnumber = {3509714},
     zbl = {1417.11042},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.943/}
}
TY  - JOUR
AU  - Paloma Bengoechea
TI  - Galois action on special theta values
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2016
SP  - 347
EP  - 360
VL  - 28
IS  - 2
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.943/
DO  - 10.5802/jtnb.943
LA  - en
ID  - JTNB_2016__28_2_347_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Paloma Bengoechea
%T Galois action on special theta values
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2016
%P 347-360
%V 28
%N 2
%I Société Arithmétique de Bordeaux
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.943/
%R 10.5802/jtnb.943
%G en
%F JTNB_2016__28_2_347_0
Paloma Bengoechea. Galois action on special theta values. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 2, pp. 347-360. doi : 10.5802/jtnb.943. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.943/

[1] H. Cohen & D. Zagier, « Vanishing and non-vanishing theta values », Ann. Math. Qué. 37 (2013), no. 1, p. 45-61. | DOI | MR | Zbl

[2] D. A. Cox, Primes of the form x 2 +ny 2 , A Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1989, Fermat, class field theory and complex multiplication, xiv+351 pages. | DOI | Zbl

[3] W. Franz, « Die Teilwerte der Weberschen Tau-Funktion », J. Reine Angew. Math. 173 (1935), p. 60-64. | DOI | MR | Zbl

[4] A. Gee, « Class fields by Shimura reciprocity », PhD Thesis, University of Amsterdam (NL), 2000.

[5] A. Gee & P. Stevenhagen, « Generating class fields using Shimura reciprocity », in Algorithmic number theory (Portland, OR, 1998), Lecture Notes in Comput. Sci., vol. 1423, Springer, Berlin, 1998, p. 441-453. | DOI | Zbl

[6] H. Iwaniec, Topics in classical automorphic forms, Graduate Studies in Mathematics, vol. 17, American Mathematical Society, Providence, RI, 1997, xii+259 pages. | DOI | Zbl

[7] S. Lang, Elliptic functions, second ed., Graduate Texts in Mathematics, vol. 112, Springer-Verlag, New York, 1987, With an appendix by J. Tate, xii+326 pages.

[8] S. Louboutin, « Sur le calcul numérique des constantes des équations fonctionnelles des fonctions L associées aux caractères impairs », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 329 (1999), no. 5, p. 347-350. | DOI | Zbl

[9] C. Meyer, « Über einige Anwendungen Dedekindscher Summen », J. Reine Angew. Math. 198 (1957), p. 143-203. | DOI

[10] D. Mumford, Tata lectures on theta. I, Progress in Mathematics, vol. 28, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1983, With the assistance of C. Musili, M. Nori, E. Previato and M. Stillman, xiii+235 pages.

[11] G. Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Publications of the Mathematical Society of Japan, No. 11. Iwanami Shoten, Publishers, Tokyo; Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971, Kanô Memorial Lectures, No. 1, xiv+267 pages. | Zbl

[12] P. Stevenhagen, « Hilbert’s 12th problem, complex multiplication and Shimura reciprocity », in Class field theory—its centenary and prospect (Tokyo, 1998), Adv. Stud. Pure Math., vol. 30, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2001, p. 161-176. | DOI | Zbl

Cité par Sources :