Galois action on special theta values
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 28 (2016) no. 2, pp. 347-360.

For a primitive Dirichlet character χ of conductor N set θ χ (τ)= n n ϵ χ(n)e πin 2 τ/N (where ϵ=0 for even χ, ϵ=1 for odd χ) the associated theta series. Its value at its point of symmetry under the modular transformation τ-1/τ is related by θ χ (i)=W(χ)θ χ ¯ (i) to the root number of the L-series of χ and hence can be used to calculate the latter quickly if it does not vanish. Using Shimura’s reciprocity law, we calculate the Galois action on these special values of theta functions with odd N normalised by the Dedekind eta function. As a consequence, we prove some experimental results of Cohen and Zagier and we deduce a partial result on the non-vanishing of these special theta values with prime N.

On associe à un caractère de Dirichlet χ de conducteur N la série thêta θ χ (τ)= n n ϵ χ(n)e πin 2 τ/N (où ϵ=0 si χ est pair et ϵ=1 sinon). La valeur de la série en son point de symétrie sous la transformation τ-1/τ est liée, par l’égalité θ χ (i)=W(χ)θ χ ¯ (i), à la constante de l’équation fonctionnelle de la série L de χ. Elle peut être ainsi utilisée pour calculer efficacement la constante de l’équation fonctionnelle si celle-ci ne s’annule pas. En utilisant la loi de réciprocité de Shimura, on calcule l’action de Galois sur ces valeurs spéciales de fonctions thêta, avec N impair, normalisées par la fonction êta de Dedekind. On démontre des résultats expérimentaux de Cohen et Zagier et on obtient un résultat partiel sur la non-annulation de ces valeurs spéciales avec N premier.

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DOI: 10.5802/jtnb.943
Classification: 11G15,  14K22,  14K25,  11M06
Keywords: Theta functions, complex multiplication, L-series, Shimura’s reciprocity law.
Paloma Bengoechea 1

1 Department of Mathematics University of York York, YO10 5DD, United Kingdom
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Paloma Bengoechea. Galois action on special theta values. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 28 (2016) no. 2, pp. 347-360. doi : 10.5802/jtnb.943. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.943/

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