Normal integral basis of an unramified quadratic extension over a cyclotomic 2 -extension
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 28 (2016) no. 2, pp. 325-345.

Let be an odd prime number. Let K/ be a real cyclic extension of degree , A K the 2-part of the ideal class group of K, and H/K the class field corresponding to A K /A K 2 . Let K n be the nth layer of the cyclotomic 2 -extension over K. We consider the questions (Q1) “does H/K has a normal integral basis?”, and (Q2) “if not, does the pushed-up extension HK n /K n has a normal integral basis for some n1?” Under some assumptions on and K, we answer these questions in terms of the 2-adic L-function associated to the base field K. We also give some numerical examples.

Soit un nombre premier impair. Soient K/ une extension cyclique réelle de degré , A K la 2-partie du groupe des classes d’idéaux de K, et H/K le corps des classes correspondant à A K /A K 2 . Soit K n la n-ème couche de la 2 -extension cyclotomique sur K. Nous considérons les questions (Q1) “existe-il une base intégrale normale pour H/K ?” et (Q2) “sinon, l’extension induite HK n /K n a-t-elle une base intégrale normale pour un certain n1 ?” Sous quelques hypothèses sur et K, nous répondrons à ces questions en termes de la fonction L 2-adique associée au corps K de base. De plus, nous donnons quelques exemples numériques.

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DOI: 10.5802/jtnb.942
Classification: 11R33,  11R23
Keywords: Normal integral basis, unramified quadratic extension, cyclotomic 2 -extension.
Humio Ichimura 1; Hiroki Sumida-Takahashi 2

1 Faculty of Science Ibaraki University Bunkyo 2-1-1, Mito, 310-8512, Japan
2 Faculty of Engineering Tokushima University 2-1 Minami-josanjima-cho, Tokushima, 770-8506, Japan
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Humio Ichimura; Hiroki Sumida-Takahashi. Normal integral basis of an unramified quadratic extension over a cyclotomic $\mathbb{Z}_2$-extension. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 28 (2016) no. 2, pp. 325-345. doi : 10.5802/jtnb.942. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.942/

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