Superspecial rank of supersingular abelian varieties and Jacobians
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 3, pp. 605-624.

Une variété abélienne définie sur un corps k algébrique-ment clos de caractéristique positive est supersingulière si elle est isogène à un produit de courbes elliptiques supersingulières et est superspéciale si elle est isomorphe à un produit de courbes elliptiques supersingulières. Dans cet article, la condition d’être superspéciale est généralisée en définissant le rang superspécial d’une variété abélienne, qui est un invariant de sa p-torsion. Les principaux résultats de cet article concernent le rang superspécial des variétés abéliennes et des jacobiennes de courbes supersingulières. Il s’avère par exemple que le rang superspécial donne des informations sur la décomposition d’une variété abélienne à isomorphisme près ; plus précisément celui-ci est une limite supérieure pour le nombre maximal de courbes elliptiques supersingulières apparaissant dans une telle décomposition.

An abelian variety defined over an algebraically closed field k of positive characteristic is supersingular if it is isogenous to a product of supersingular elliptic curves and is superspecial if it is isomorphic to a product of supersingular elliptic curves. In this paper, the superspecial condition is generalized by defining the superspecial rank of an abelian variety, which is an invariant of its p-torsion. The main results in this paper are about the superspecial rank of supersingular abelian varieties and Jacobians of curves. For example, it turns out that the superspecial rank determines information about the decomposition of a supersingular abelian variety up to isomorphism; namely it is a bound for the maximal number of supersingular elliptic curves appearing in such a decomposition.

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DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.916
Classification : 11G10,  11G20,  14F40,  14H40,  14L15
Mots clés : abelian variety, Jacobian, supersingular, superspecial, p-torsion, Dieudonné module
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     author = {Jeffrey D. Achter and Rachel Pries},
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     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
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Jeffrey D. Achter; Rachel Pries. Superspecial rank of supersingular abelian varieties and Jacobians. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 3, pp. 605-624. doi : 10.5802/jtnb.916. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.916/

[1] M. H. Baker, « Cartier points on curves », Internat. Math. Res. Notices (2000), no. 7, p. 353-370. | MR 1749740 | Zbl 0994.14020

[2] R. M. Crew, « Etale p-covers in characteristic p », Compositio Math. 52 (1984), no. 1, p. 31-45. | Numdam | MR 742696 | Zbl 0558.14009

[3] N. Dummigan, « The determinants of certain Mordell-Weil lattices », Amer. J. Math. 117 (1995), no. 6, p. 1409-1429. | MR 1363073 | Zbl 0914.11033

[4] —, « Complete p-descent for Jacobians of Hermitian curves », Compositio Math. 119 (1999), no. 2, p. 111-132. | MR 1723124

[5] T. Ekedahl, « On supersingular curves and abelian varieties », Math. Scand. 60 (1987), no. 2, p. 151-178. | MR 914332 | Zbl 0641.14007

[6] A. Elkin & R. Pries, « Ekedahl-Oort strata of hyperelliptic curves in characteristic 2 », Algebra Number Theory 7 (2013), no. 3, p. 507-532. | MR 3095219 | Zbl 1282.11065

[7] H. Friedlander, D. Garton, B. Malmskog, R. Pries & C. Weir, « The a-numbers of Jacobians of Suzuki curves », Proc. Amer. Math. Soc. 141 (2013), no. 9, p. 3019-3028. | MR 3068955

[8] G. van der Geer & M. van der Vlugt, « Reed-Muller codes and supersingular curves. I », Compositio Math. 84 (1992), no. 3, p. 333-367. | Numdam | MR 1189892 | Zbl 0804.14014

[9] —, « On the existence of supersingular curves of given genus », J. Reine Angew. Math. 458 (1995), p. 53-61. | MR 1310953

[10] B. H. Gross, « Group representations and lattices », J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), no. 4, p. 929-960. | MR 1071117 | Zbl 0745.11035

[11] J. P. Hansen, « Deligne-Lusztig varieties and group codes », in Coding theory and algebraic geometry (Luminy, 1991), Lecture Notes in Math., vol. 1518, Springer, Berlin, 1992, p. 63-81. | MR 1186416 | Zbl 0771.14017

[12] N. Jacobson, The Theory of Rings, American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. II, American Mathematical Society, New York, 1943, vi+150 pages. | MR 8601 | Zbl 0060.07302

[13] A. J. de Jong & F. Oort, « Purity of the stratification by Newton polygons », J. Amer. Math. Soc. 13 (2000), no. 1, p. 209-241. | MR 1703336 | Zbl 0954.14007

[14] H. Kraft, « Kommutative algebraische p-Gruppen (mit Anwendungen auf p-divisible Gruppen und abelsche Varietäten) », manuscript, University of Bonn, September 1975, 86 pp.

[15] H. W. Lenstra, Jr. & F. Oort, « Simple abelian varieties having a prescribed formal isogeny type », J. Pure Appl. Algebra 4 (1974), p. 47-53. | MR 354686 | Zbl 0279.14009

[16] K. Z. Li, « Classification of supersingular abelian varieties », Math. Ann. 283 (1989), no. 2, p. 333-351. | MR 980602 | Zbl 0641.14008

[17] K.-Z. Li & F. Oort, Moduli of supersingular abelian varieties, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1680, Springer-Verlag, Berlin, 1998, iv+116 pages. | MR 1611305 | Zbl 0920.14021

[18] J. I. Manin, « Theory of commutative formal groups over fields of finite characteristic », Uspehi Mat. Nauk 18 (1963), no. 6 (114), p. 3-90. | MR 157972 | Zbl 0128.15603

[19] B. Moonen, « Group schemes with additional structures and Weyl group cosets », in Moduli of abelian varieties (Texel Island, 1999), Progr. Math., vol. 195, Birkhäuser, Basel, 2001, p. 255-298. | MR 1827024 | Zbl 1084.14523

[20] N. O. Nygaard, « Slopes of powers of Frobenius on crystalline cohomology », Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 14 (1981), no. 4, p. 369-401 (1982). | Numdam | MR 654203 | Zbl 0519.14012

[21] T. Oda, « The first de Rham cohomology group and Dieudonné modules », Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 2 (1969), p. 63-135. | Numdam | MR 241435 | Zbl 0175.47901

[22] T. Oda & F. Oort, « Supersingular abelian varieties », in Proceedings of the International Symposium on Algebraic Geometry (Kyoto Univ., Kyoto, 1977), Kinokuniya Book Store, Tokyo, 1978, p. 595-621. | MR 578876 | Zbl 0402.14016

[23] A. Ogus, « Supersingular K3 crystals », in Journées de Géométrie Algébrique de Rennes (Rennes, 1978), Vol. II, Astérisque, vol. 64, Soc. Math. France, Paris, 1979, p. 3-86. | MR 563467 | Zbl 0435.14003

[24] F. Oort, « Subvarieties of moduli spaces », Invent. Math. 24 (1974), p. 95-119. | MR 424813 | Zbl 0259.14011

[25] —, « Which abelian surfaces are products of elliptic curves? », Math. Ann. 214 (1975), p. 35-47. | MR 364264

[26] —, « A stratification of a moduli space of abelian varieties », in Moduli of abelian varieties (Texel Island, 1999), Progr. Math., vol. 195, Birkhäuser, Basel, 2001, p. 345-416. | MR 1827027

[27] —, « Abelian varieties isogenous to a Jacobian », Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 113 (2005), p. 165-172.

[28] —, « Minimal p-divisible groups », Ann. of Math. (2) 161 (2005), no. 2, p. 1021-1036. | MR 2153405

[29] R. Pries & C. Weir, « Ekedahl-Oort type of Jacobians of Hermitian curves », to appear in Asian J. Math., .

[30] H.-G. Rück & H. Stichtenoth, « A characterization of Hermitian function fields over finite fields », J. Reine Angew. Math. 457 (1994), p. 185-188. | MR 1305281 | Zbl 0802.11053

[31] J. Scholten & H. J. Zhu, « Hyperelliptic curves in characteristic 2 », Int. Math. Res. Not. (2002), no. 17, p. 905-917. | MR 1899907 | Zbl 1034.14013

[32] J.-P. Serre, Corps locaux, Hermann, Paris, 1968, Deuxième édition, Publications de l’Université de Nancago, No. VIII, 245 pages. | MR 354618 | Zbl 0137.02601

[33] T. Shioda, « Some remarks on Abelian varieties », J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 24 (1977), no. 1, p. 11-21. | MR 450289 | Zbl 0406.14023

[34] D. Subrao, « The p-rank of Artin-Schreier curves », Manuscripta Math. 16 (1975), no. 2, p. 169-193. | MR 376693 | Zbl 0321.14017

[35] J. Tate, « Endomorphisms of abelian varieties over finite fields », Invent. Math. 2 (1966), p. 134-144. | MR 206004 | Zbl 0147.20303

[36] D. L. Ulmer, « p-descent in characteristic p », Duke Math. J. 62 (1991), no. 2, p. 237-265. | MR 1104524 | Zbl 0742.14028