Superspecial rank of supersingular abelian varieties and Jacobians
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 27 (2015) no. 3, pp. 605-624.

An abelian variety defined over an algebraically closed field k of positive characteristic is supersingular if it is isogenous to a product of supersingular elliptic curves and is superspecial if it is isomorphic to a product of supersingular elliptic curves. In this paper, the superspecial condition is generalized by defining the superspecial rank of an abelian variety, which is an invariant of its p-torsion. The main results in this paper are about the superspecial rank of supersingular abelian varieties and Jacobians of curves. For example, it turns out that the superspecial rank determines information about the decomposition of a supersingular abelian variety up to isomorphism; namely it is a bound for the maximal number of supersingular elliptic curves appearing in such a decomposition.

Une variété abélienne définie sur un corps k algébrique-ment clos de caractéristique positive est supersingulière si elle est isogène à un produit de courbes elliptiques supersingulières et est superspéciale si elle est isomorphe à un produit de courbes elliptiques supersingulières. Dans cet article, la condition d’être superspéciale est généralisée en définissant le rang superspécial d’une variété abélienne, qui est un invariant de sa p-torsion. Les principaux résultats de cet article concernent le rang superspécial des variétés abéliennes et des jacobiennes de courbes supersingulières. Il s’avère par exemple que le rang superspécial donne des informations sur la décomposition d’une variété abélienne à isomorphisme près ; plus précisément celui-ci est une limite supérieure pour le nombre maximal de courbes elliptiques supersingulières apparaissant dans une telle décomposition.

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DOI: 10.5802/jtnb.916
Classification: 11G10,  11G20,  14F40,  14H40,  14L15
Keywords: abelian variety, Jacobian, supersingular, superspecial, p-torsion, Dieudonné module
Jeffrey D. Achter 1; Rachel Pries 1

1 Colorado State University Fort Collins, CO, 80521 USA
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Jeffrey D. Achter; Rachel Pries. Superspecial rank of supersingular abelian varieties and Jacobians. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 27 (2015) no. 3, pp. 605-624. doi : 10.5802/jtnb.916. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.916/

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