2-Cohomology of semi-simple simply connected group-schemes over curves defined over $p$-adic fields

Jean-Claude Douai

doi:10.5802/jtnb.837

2-Cohomology of semi-simple simply connected group-schemes over curves defined over

p

-adic fields

Jean-Claude Douai ¹

¹ UFR de Mathématiques Laboratoire Paul Painlevé CNRS UMR 8524 Université de Lille 1 59665 Villeneuve d’Ascq Cedex

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 25 (2013) no. 2, pp. 307-316.

Abstract
Résumé

Let $X$ be a proper, smooth, geometrically connected curve over a $p$ -adic field $k$ . Lichtenbaum proved that there exists a perfect duality:

Br (X) \times Pic (X) \to ℚ / ℤ

between the Brauer and the Picard group of $X$ , from which he deduced the existence of an injection of $Br (X)$ in $\prod_{P \in X} Br (k_{P})$ where $P \in X$ and $k_{P}$ denotes the residual field of the point $P$ . The aim of this paper is to prove that if $G = \tilde{G}$ is an $X_{e t}$ - scheme of semi-simple simply connected groups (s.s.s.c groups), then we can deduce from Lichtenbaum’s results the neutrality of every $X_{e t}$ -gerb which is locally tied by $\tilde{G}$ . In particular, if $𝔛$ is a model of $X$ over the ring of integers $𝒪$ in $k$ , i.e $X = 𝔛 \times_{𝒪} k$ , then every $𝔛_{e t}$ -gerb which is locally tied by a s.s.s.c $𝔛$ -group is neutral (this being a variant of the proper base change theorem).

More generally, using a technique of Colliot-Thélène and Saito, we can prove that, if $X$ is a proper smooth $k$ -variety of dimension greater than 1, then every class of $H^{2} (X_{e t}, ℒ) ∕ H^{2} (𝔛_{e t}, ℒ)$ is neutral whenever $ℒ$ is a $𝔛$ -band that is locally represented by a s.s.s.c group under the condition that the cardinality of its center is coprime to $p$ . We will then give some applications.

Soit $X$ une courbe propre, lisse, géométriquement connexe, définie sur un corps $p$ -adique $k$ . Lichtenbaum a prouvé l’existence d’une dualité parfaite :

Br (X) \times Pic (X) \to ℚ / ℤ

entre le groupe de Brauer et le groupe de Picard de $X$ et en a déduit l’existence d’une injection de $Br (X)$ dans le produit des $Br (k_{P})$ où $P$ décrit les point fermés de $X$ et $k_{P}$ désigne le corps résiduel du point $P$ . Le but cet article est de montrer que si, $G = \tilde{G}$ est un $X_{e t}$ -schéma en groupes semi-simples simplement connexes (groupes s.s.s.c), alors le résultat de Lichtenbaum implique la neutralité de chaque $X_{e t}$ -gerbe qui est localement liée par $\tilde{G}$ . En particulier, si $𝔛$ est un modèle de $X$ sur l’anneau $𝒪$ des entiers de $k$ , i.e $X = 𝔛 \times_{𝒪} k$ , alors chaque $𝔛_{e t}$ -gerbe localement liée par un $𝔛$ -groupe s.s.s.c est neutre (ceci étant une application du théorème de changement propre).

Plus généralement, reprenant un procédé du à Colliot-Thélène et Saito, nous pouvons montrer que si $X$ est une $k$ -variété propre, lisse, de dimension strictement plus grande que 1, alors chaque classe du quotient $H^{2} (X_{e t}, ℒ) ∕ H^{2} (𝔛_{e t}, ℒ)$ est neutre où $𝔛$ est un $𝒪$ -modèle de $X$ et $ℒ$ un $𝔛$ -lien localement représentable par un schéma en groupes s.s.s.c sous la condition mineure que le cardinal de son centre soit premier à $p$ . Nous donnerons ensuite des applications.

MR Zbl

DOI: 10.5802/jtnb.837

Author's affiliations:

Jean-Claude Douai ¹

¹ UFR de Mathématiques Laboratoire Paul Painlevé CNRS UMR 8524 Université de Lille 1 59665 Villeneuve d’Ascq Cedex

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