2-Cohomology of semi-simple simply connected group-schemes over curves defined over $p$-adic fields
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 25 (2013) no. 2, pp. 307-316.

Let $X$ be a proper, smooth, geometrically connected curve over a $p$-adic field $k$. Lichtenbaum proved that there exists a perfect duality:

 $\text{Br}\left(X\right)×\text{Pic}\left(X\right)\to ℚ/ℤ$

between the Brauer and the Picard group of $X$, from which he deduced the existence of an injection of $\text{Br}\left(X\right)$ in $\prod _{P\in X}\text{Br}\left({k}_{P}\right)$ where $P\in X$ and ${k}_{P}$ denotes the residual field of the point $P$. The aim of this paper is to prove that if $G=\stackrel{˜}{G}$ is an ${X}_{et}$- scheme of semi-simple simply connected groups (s.s.s.c groups), then we can deduce from Lichtenbaum’s results the neutrality of every ${X}_{et}$-gerb which is locally tied by $\stackrel{˜}{G}$. In particular, if $𝔛$ is a model of $X$ over the ring of integers $𝒪$ in $k$, i.e $X=𝔛{×}_{𝒪}k$, then every ${𝔛}_{et}$-gerb which is locally tied by a s.s.s.c $𝔛$-group is neutral (this being a variant of the proper base change theorem).

More generally, using a technique of Colliot-Thélène and Saito, we can prove that, if $X$ is a proper smooth $k$-variety of dimension greater than 1, then every class of ${H}^{2}\left({X}_{et},ℒ\right)∕{H}^{2}\left({𝔛}_{et},ℒ\right)$ is neutral whenever $ℒ$ is a $𝔛$-band that is locally represented by a s.s.s.c group under the condition that the cardinality of its center is coprime to $p$. We will then give some applications.

Soit $X$ une courbe propre, lisse, géométriquement connexe, définie sur un corps $p$-adique $k$. Lichtenbaum a prouvé l’existence d’une dualité parfaite :

 $\text{Br}\left(X\right)×\text{Pic}\left(X\right)\to ℚ/ℤ$

entre le groupe de Brauer et le groupe de Picard de $X$ et en a déduit l’existence d’une injection de $\text{Br}\left(X\right)$ dans le produit des $\text{Br}\left({k}_{P}\right)$$P$ décrit les point fermés de $X$ et ${k}_{P}$ désigne le corps résiduel du point $P$. Le but cet article est de montrer que si, $G=\stackrel{˜}{G}$ est un ${X}_{et}$-schéma en groupes semi-simples simplement connexes (groupes s.s.s.c), alors le résultat de Lichtenbaum implique la neutralité de chaque ${X}_{et}$-gerbe qui est localement liée par $\stackrel{˜}{G}$. En particulier, si $𝔛$ est un modèle de $X$ sur l’anneau $𝒪$ des entiers de $k$, i.e $X=𝔛{×}_{𝒪}k$, alors chaque ${𝔛}_{et}$-gerbe localement liée par un $𝔛$-groupe s.s.s.c est neutre (ceci étant une application du théorème de changement propre).

Plus généralement, reprenant un procédé du à Colliot-Thélène et Saito, nous pouvons montrer que si $X$ est une $k$-variété propre, lisse, de dimension strictement plus grande que 1, alors chaque classe du quotient ${H}^{2}\left({X}_{et},ℒ\right)∕{H}^{2}\left({𝔛}_{et},ℒ\right)$ est neutre où $𝔛$ est un $𝒪$-modèle de $X$ et $ℒ$ un $𝔛$-lien localement représentable par un schéma en groupes s.s.s.c sous la condition mineure que le cardinal de son centre soit premier à $p$. Nous donnerons ensuite des applications.

DOI: 10.5802/jtnb.837
Jean-Claude Douai 1

1 UFR de Mathématiques Laboratoire Paul Painlevé CNRS UMR 8524 Université de Lille 1 59665 Villeneuve d’Ascq Cedex
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