We demonstrate the integrality of the Taylor coefficients of roots of formal power series , where and are particular solutions of certain hypergeometric differential equations. This allows us to prove a conjecture stated by Zhou in « Integrality properties of variations of Mahler measures » [arXiv:1006.2428v1 math.AG]. The proof of these results is an adaptation of the techniques used in our article: « Critère pour l’intégralité des coefficients de Taylor des applications miroir » [J. Reine Angew. Math.].
Nous démontrons l’intégralité des coefficients de Taylor de racines de séries de la forme , où et sont des solutions particulières de certaines équations différentielles hypergéométriques généralisées. Cela nous permet de démontrer une conjecture de Zhou énoncée dans « Integrality properties of variations of Mahler measures » [arXiv :1006.2428v1 math.AG]. La preuve de ces résultats est une adaptation des techniques utilisées dans notre article « Critère pour l’intégralité des coefficients de Taylor des applications miroir » [J. Reine Angew. Math.].
@article{JTNB_2012__24_3_623_0, author = {\'Eric Delaygue}, title = {Int\'egralit\'e des coefficients de {Taylor} de racines d{\textquoteright}applications miroir}, journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux}, pages = {623--638}, publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux}, volume = {24}, number = {3}, year = {2012}, doi = {10.5802/jtnb.814}, mrnumber = {3010632}, zbl = {1297.11072}, language = {fr}, url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.814/} }
TY - JOUR TI - Intégralité des coefficients de Taylor de racines d’applications miroir JO - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux PY - 2012 DA - 2012/// SP - 623 EP - 638 VL - 24 IS - 3 PB - Société Arithmétique de Bordeaux UR - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.814/ UR - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3010632 UR - https://zbmath.org/?q=an%3A1297.11072 UR - https://doi.org/10.5802/jtnb.814 DO - 10.5802/jtnb.814 LA - fr ID - JTNB_2012__24_3_623_0 ER -
Éric Delaygue. Intégralité des coefficients de Taylor de racines d’applications miroir. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 24 (2012) no. 3, pp. 623-638. doi : 10.5802/jtnb.814. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.814/
[1] E. Delaygue, Critère pour l’intégralité des coefficients de Taylor des applications miroir. J. Reine Angew. Math. 662 (2012), 205–252. | MR: 2876264 | Zbl: pre06006745
[2] B. Dwork, On -adic differential equations. IV. Generalized hypergeometric functions as -adic functions in one variable. Annales scientifiques de l’E.N.S. série 6 (1973), 295–316. | Numdam | MR: 572762 | Zbl: 0309.14020
[3] N. Heninger, E. M. Rains et N. J. A. Sloane, On the integrality of nth roots of generating functions. J. Combin. Theory Ser. A 113 (2006), no. 8, 1732–1745. | MR: 2269551 | Zbl: 1203.94138
[4] N. Koblitz, -Adic Numbers, -Adic Analysis, and Zeta-functions. Springer-Verlag, Heidelberg, 1977. | MR: 466081 | Zbl: 0364.12015
[5] C. Krattenthaler et T. Rivoal, On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps. Duke Math. J. 151 (2010), 175–218. | MR: 2598376 | Zbl: pre05674933
[6] C. Krattenthaler et T. Rivoal, On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II. Commun. Number Theory Phys. 3.3 (2009), 555–591. | MR: 2591883 | Zbl: 1186.14042
[7] E. Landau, Sur les conditions de divisibilité d’un produit de factorielles par un autre. Collected works, I, page 116. Thales-Verlag, 1985.
[8] S. Lang, Cyclotomic Fields, I, II. Combined 2nd edition, 121, Graduate Texts in Math., Springer-Verlag, New York, 1990. | MR: 1029028 | Zbl: 0704.11038
[9] B. H. Lian et S. T. Yau, The nth root of the mirror map. In : Calabi-Yau varieties and mirror symmetry, Proceedings of the Workshop on Arithmetic, Geometry and Physics around Calabi-Yau Varieties and Mirror Symmetry, Toronto, ON, 2001, N. Yui and J. D. Lewis (eds.), Fields Inst. Commun. 38, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, pp. 195–199. | MR: 2019153 | Zbl: 1048.11049
[10] B. H. Lian et S. T. Yau, Arithmetic properties of mirror map and quantum coupling. Comm. Math. Phys. 176 (1996), no. 1, 163–191. | MR: 1372822 | Zbl: 0867.14017
[11] M. Yoshida, Fuchsian Differential Equations. Aspects of Mathematics 11, Vieweg, 1987. | MR: 986252 | Zbl: 0618.35001
[12] J. Zhou, Integrality properties of variations of Mahler measures. arXiv :1006.2428v1 [math.AG]. | MR: 2908087
[13] V. V. Zudilin, Integrality of power expansions related to hypergeometric series. Mathematical Notes, vol. 71, no. 5 (2002), 604–616. | MR: 1936191 | Zbl: 1043.11060
Cited by Sources: