A propos de la relation galoisienne ${x}_{1}={x}_{2}+{x}_{3}$
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 22 (2010) no. 3, pp. 661-673.

About the Galois relation ${x}_{1}={x}_{2}+{x}_{3}$

Let $k$ be a field of characteristic $0$. The existence of an irreducible polynomial $f$ over $k$ whose roots satisfy the linear relation ${x}_{1}={x}_{2}+{x}_{3}$ exclusively depends on the pair $\left(G,H\right)$ where $G={\mathrm{Gal}}_{k}\left(f\right)$ and $H\subset G$ is the stabilizer of one root. The regular case ($H=1$) is now well understood. In the present paper, we consider the primitive case ($H$ maximal subgroup of $G$) and show that we can’t find this linear relation when the pair $\left(G,H\right)$ is primitive of a degree $\le 50$.

An appendix of Joseph Oesterlé shows that we can find this relation for any pair $\left(G,1\right)$ in which $6$ divides the order of $G$.

L’existence d’un polynôme $f$, irréductible sur un corps $k$ de caractéristique $0$ et dont trois racines vérifient la relation linéaire ${x}_{1}={x}_{2}+{x}_{3}$, ne dépend que de la paire de groupes finis $\left(G,H\right)$$G={\mathrm{Gal}}_{k}\left(f\right)$ et $H\subset G$ est le fixateur d’une racine. Le cas régulier ($H=1$) est désormais assez bien décrit. On démontre dans ce texte que pour de nombreuses paires $\left(G,H\right)$ primitives ($H$ sous-groupe maximal de $G$) et en particulier pour toutes celles de degré $\le 50$, la relation ${x}_{1}={x}_{2}+{x}_{3}$ n’est pas réalisable.

En appendice, Joseph Oesterlé démontre que cette relation linéaire est réalisable pour la paire $\left(G,1\right)$ dès que $6$ divise l’ordre de $G$.

DOI: 10.5802/jtnb.738
Franck Lalande 1

1 38, grande rue 89140 Gisy les nobles, France
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Franck Lalande. A propos de la relation galoisienne $x_1=x_2+x_3$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 22 (2010) no. 3, pp. 661-673. doi : 10.5802/jtnb.738. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.738/

[1] J. D. Dixon, Polynomials with relations between their roots. Acta Arithmetica 82.3 (1997), 293–302. | MR | Zbl

[2] J. D. Dixon, Permutation representations and rationnal irreducibility. Bull. Austral. Math. Soc. 71 (2005), 493–503. | MR | Zbl

[3] The GAP Group, GAP–Groups, Algorithms, and Programming. Version 4.4.11 (2008) (http ://www.gap-system.org).

[4] K. Girstmair, Linear relations between roots of polynomials. Acta Arithmetica 89.1 (1999), 53–96. | MR | Zbl

[5] K. Girstmair, The Galois relation ${x}_{1}={x}_{2}+{x}_{3}$ and Fermat over finite fields. Acta Arithmetica 124.4 (2006), 357–370. | MR | Zbl

[6] K. Girstmair, The Galois relation ${x}_{1}={x}_{2}+{x}_{3}$ for finite simple groups. Acta Arithmetica 127.3 (2007), 301–303. | MR | Zbl

[7] F. Lalande, Relations linéaires entre les racines d’un polynôme et anneaux de Schur. Ann. Sci. Math. Québec 27.2 (2003), 169–175. | MR | Zbl

[8] F. Lalande, La relation linéaire $a=b+c+...+t$ entre les racines d’un polynôme. J. Théorie des Nombres de Bordeaux 19 (2007), 473–484. | Numdam | MR | Zbl

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