Comparison between the fundamental group scheme of a relative scheme and that of its generic fiber
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 22 (2010) no. 3, pp. 537-555.

On montre que le morphisme canonique ϕ:π 1 (X η ,x η )π 1 (X,x) η entre le schéma en groupes fondamental de la fibre générique X η d’un schéma X sur un schéma de Dedekind connexe et la fibre générique du schéma en groupes fondamental de X est toujours fidèlement plat. On donnera ensuite des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un G-torseur fini, dominé et pointé au dessus de X η puisse être étendu sur X. On décrira des exemples où ϕ:π 1 (X η ,x η )π 1 (X,x) η est un isomorphisme.

We show that the natural morphism ϕ:π 1 (X η ,x η )π 1 (X,x) η between the fundamental group scheme of the generic fiber X η of a scheme X over a connected Dedekind scheme and the generic fiber of the fundamental group scheme of X is always faithfully flat. As an application we give a necessary and sufficient condition for a finite, dominated pointed G-torsor over X η to be extended over X. We finally provide examples where ϕ:π 1 (X η ,x η )π 1 (X,x) η is an isomorphism.

Reçu le :
Révisé le :
Publié le :
DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.731
@article{JTNB_2010__22_3_537_0,
     author = {Marco Antei},
     title = {Comparison between the fundamental group scheme of a relative scheme and that of its generic fiber},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
     pages = {537--555},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux 1},
     volume = {22},
     number = {3},
     year = {2010},
     doi = {10.5802/jtnb.731},
     zbl = {1267.14029},
     mrnumber = {2769330},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.731/}
}
TY  - JOUR
AU  - Marco Antei
TI  - Comparison between the fundamental group scheme of a relative scheme and that of its generic fiber
JO  - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
PY  - 2010
DA  - 2010///
SP  - 537
EP  - 555
VL  - 22
IS  - 3
PB  - Université Bordeaux 1
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.731/
UR  - https://zbmath.org/?q=an%3A1267.14029
UR  - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2769330
UR  - https://doi.org/10.5802/jtnb.731
DO  - 10.5802/jtnb.731
LA  - en
ID  - JTNB_2010__22_3_537_0
ER  - 
Marco Antei. Comparison between the fundamental group scheme of a relative scheme and that of its generic fiber. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 22 (2010) no. 3, pp. 537-555. doi : 10.5802/jtnb.731. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.731/

[1] S. Anantharaman, Schémas en groupes, espaces homogènes et espaces algébriques sur une base de dimension 1. Mémoires de la S. M. F. 33 (1973), 5–79. | Numdam | MR 335524 | Zbl 0286.14001

[2] J. E. Bertin, Généralités sur les préschémas en groupes. Exposé VI B , Séminaires de Géométrie Algébrique Du Bois Marie. III , (1962/64)

[3] M. Demazure, P. Gabriel, Groupes algébriques. North-Holland Publ. Co., Amsterdam, 1970. | MR 302656

[4] P. Gabriel, Construction de préschémas quotient. Exposé V, Séminaires de Géométrie Algébrique Du Bois Marie. III , (1962/64) | MR 257095

[5] C. Garuti, Barsotti-Tate Groups and p-adic Representations of the Fundamental Group Scheme. Math. Ann. 341 No. 3 (2008), 603–622. | MR 2399161 | Zbl 1145.14036

[6] C. Gasbarri, Heights of Vector Bundles and the Fundamental Group Scheme of a Curve. Duke Math. J. 117 No.2 (2003), 287–311. | MR 1971295 | Zbl 1026.11057

[7] A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique. I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l’IHÉS, 4 (1960). | Numdam | Zbl 0118.36206

[8] A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique. II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publications Mathématiques de l’IHÉS, 8 (1961). | Numdam | Zbl 0118.36206

[9] A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. II, Publications Mathématiques de l’IHÉS, 24 (1965). | Numdam | Zbl 0135.39701

[10] A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. III, Publications Mathématiques de l’IHÉS, 28 (1966). | Numdam | Zbl 0144.19904

[11] H. Matsumura, Commutative Ring Theory. Cambridge University Press, 1980. | MR 879273 | Zbl 0603.13001

[12] M. V. Nori, On the Representations of the Fundamental Group. Compositio Matematica, Vol. 33, Fasc. 1 (1976), 29–42. | Numdam | MR 417179 | Zbl 0337.14016

[13] M. V. Nori, The Fundamental Group-Scheme. Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.), Vol. 91, Number 2 (1982), 73–122. | MR 682517 | Zbl 0586.14006

[14] M. V. Nori, The Fundamental Group-Scheme of an Abelian Variety. Math. Ann. 263 (1983), 263–266. | MR 704291 | Zbl 0497.14018

[15] M. Raynaud, Schémas en groupes de type (p,...,p). Bulletin de la Société Mathématique de France 102 (1974), 241–280. | Numdam | MR 419467 | Zbl 0325.14020

[16] M. Romagny, Effective Models of Group Schemes. ArXiv:0904.3167v2, (2009).

[17] M. Saidi, Cyclic p-Groups and Semi-Stable Reduction of Curves in Equal Characteristic p>0. ArXiv:math/0405529 (2004).

[18] W. C. Waterhouse, Introduction to Affine Group Schemes. GTM, Springer-Verlag, 1979. | MR 547117 | Zbl 0442.14017

Cité par Sources :