Représentations potentiellement triangulines de dimension $2$

Laurent Berger; Gaëtan Chenevier

doi:10.5802/jtnb.732

Représentations potentiellement triangulines de dimension

2

Laurent Berger ¹ ; Gaëtan Chenevier ²

¹ UMPA, ENS de Lyon UMR no 5669 du CNRS Université de Lyon
² CMLS, Ecole Polytechnique UMR no 7640 du CNRS

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 22 (2010) no. 3, pp. 557-574.

Résumé (VO)
Abstract

Les deux résultats principaux de cette note sont d’une part que si $V$ est une représentation de $Gal ({\bar{Q}}_{p} / Q_{p})$ de dimension $2$ qui est potentiellement trianguline, alors $V$ vérifie au moins une des propriétés suivantes (1) $V$ est trianguline déployée (2) $V$ est une somme de caractères ou une induite (3) $V$ est une représentation de de Rham tordue par un caractère, et d’autre part qu’il existe des représentations de $Gal ({\bar{Q}}_{p} / Q_{p})$ de dimension $2$ qui ne sont pas potentiellement triangulines.

$2$ -dimensional potentially trianguline representations

The two main results of this note are on the one hand that if $V$ is a $2$ -dimensional potentially trianguline representation of $Gal ({\bar{Q}}_{p} / Q_{p})$ then $V$ satisfies at least one of the following properties (1) $V$ is split trianguline (2) $V$ is a direct sum of characters or an induced representation (3) $V$ is a twist of a de Rham representation, and on the other hand that there exists some $2$ -dimensional representations of $Gal ({\bar{Q}}_{p} / Q_{p})$ which are not potentially trianguline.

MR Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.732

Classification : 11F80, 11F85, 11S20, 14D15, 14F30, 14G22
Mots-clés : Représentations triangulines ;

B

-paires ; théorie de Hodge

p

-adique ; espaces analytiques ; parties fines ; déformations universelles

Affiliations des auteurs :

Laurent Berger ¹ ; Gaëtan Chenevier ²

¹ UMPA, ENS de Lyon UMR no 5669 du CNRS Université de Lyon
² CMLS, Ecole Polytechnique UMR no 7640 du CNRS

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TY  - JOUR
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Laurent Berger; Gaëtan Chenevier. Représentations potentiellement triangulines de dimension $2$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 22 (2010) no. 3, pp. 557-574. doi : 10.5802/jtnb.732. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.732/

Bibliographie
Cité par

[BC08] L. Berger et P. Colmez, Familles de représentations de de Rham et monodromie $p$ -adique. Astérisque 319 (2008), 303–337. | MR | Zbl

[BC09] J. Bellaïche et G. Chenevier, Families of Galois representations and Selmer groups. Astérisque 324 (2009), xii+314 pp. | MR | Zbl

[Ber08] L. Berger, Construction de $(ϕ, Γ)$ -modules : représentations $p$ -adiques et $B$ -paires. Algebra Number Theory 2 (2008), no. 1, 91–120. | MR

[Col08] P. Colmez, Représentations triangulines de dimension $2$ . Astérisque 319 (2008), 213–258. | MR | Zbl

[Fon94] J.-M. Fontaine, Le corps des périodes $p$ -adiques. Astérisque 223 (1994), 59–111, With an appendix by Pierre Colmez, Périodes $p$ -adiques (Bures-sur-Yvette, 1988). | MR | Zbl

[Fon04] —, Arithmétique des représentations galoisiennes $p$ -adiques. Astérisque 295 (2004), xi, 1–115, Cohomologies $p$ -adiques et applications arithmétiques. III. | MR | Zbl

[Ked04] K. S. Kedlaya, A $p$ -adic local monodromy theorem. Ann. of Math. (2) 160 (2004), no. 1, 93–184. | MR | Zbl

[Kie67] R. Kiehl, Die de Rham Kohomologie algebraischer Mannigfaltigkeiten über einem bewerteten Körper. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. bf 33 (1967), 5–20. | Numdam | MR | Zbl

[Kis08] M. Kisin, Potentially semi-stable deformation rings. J. Amer. Math. Soc. 21 (2008), no. 2, 513–546. | MR

[Maz89] B. Mazur, Deforming Galois representations. Galois groups over $Q$ (Berkeley, CA, 1987), Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 16, Springer, New York, 1989, 385–437. | MR | Zbl

[Nak09] K. Nakamura, Classification of two-dimensional split trianguline representations of $p$ -adic fields. Compos. Math. 145 (2009), no. 4, 865–914. | MR

[Sen81] S. Sen, Continuous cohomology and $p$ -adic Galois representations. Invent. Math. 62 (1980/81), no. 1, 89–116. | MR | Zbl

Léo Poyeton $F$ -analytic $B$ -pairs, Proceedings of the American Mathematical Society, Volume 151 (2023) no. 6, pp. 2399-2415 | DOI:10.1090/proc/16305 | Zbl:1525.11058
Laurent Berger; Giovanni Di Matteo On triangulable tensor products of $B$ -pairs and trianguline representations, International Journal of Number Theory, Volume 17 (2021) no. 10, pp. 2221-2233 | DOI:10.1142/s1793042121500846 | Zbl:1487.14052
Andrea Conti Galois level and congruence ideal for $p$ -adic families of finite slope Siegel modular forms, Compositio Mathematica, Volume 155 (2019) no. 4, pp. 776-831 | DOI:10.1112/s0010437x19007048 | Zbl:1435.11084
Giovanni Di Matteo On admissible tensor products in $p$ -adic Hodge theory, Compositio Mathematica, Volume 149 (2013) no. 3, pp. 417-429 | DOI:10.1112/s0010437x1200070x | Zbl:1291.11090
Gaëtan Chenevier About the density of $Gal ({\overset{―}{Q}}_{p} / Q_{p})$ crystalline representations, Mathematische Annalen, Volume 355 (2013) no. 4, pp. 1469-1525 | DOI:10.1007/s00208-012-0815-z | Zbl:1283.11082

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