A recent result of Balandraud shows that for every subset of an abelian group there exists a non trivial subgroup such that holds only if . Notice that Kneser’s Theorem only gives .
This strong form of Kneser’s theorem follows from some nice properties of a certain poset investigated by Balandraud. We consider an analogous poset for nonabelian groups and, by using classical tools from Additive Number Theory, extend some of the above results. In particular we obtain short proofs of Balandraud’s results in the abelian case.
Un résultat récent de Balandraud démontre que pour toute partie d’un groupe abélien , il existe un sous-groupe non-trivial tel que l’inégalité n’a lieu que si . On remarque que le théorème de Kneser n’implique que l’inégalité .
Ce renforcement du théorème de Kneser se déduit des propriétés plaisantes d’un certain ensemble partiellement ordonné étudié par Balandraud. Nous considérons un ensemble partiellement ordonné analogue pour les groupes non forcément abéliens et à l’aide d’outils classiques de théorie additive des nombres, généralisons certains des résultats suscités. En particulier nous obtenons des démonstrations courtes des résultats de Balandraud dans le cas abélien.
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Yahya Ould Hamidoune; Oriol Serra; Gilles Zémor. On some subgroup chains related to Kneser’s theorem. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 20 (2008) no. 1, pp. 125-130. doi : 10.5802/jtnb.618. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.618/
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