On some subgroup chains related to Kneser’s theorem
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 20 (2008) no. 1, pp. 125-130.

A recent result of Balandraud shows that for every subset S of an abelian group G there exists a non trivial subgroup H such that |TS||T|+|S|-2 holds only if HStab(TS). Notice that Kneser’s Theorem only gives {1}Stab(TS).

This strong form of Kneser’s theorem follows from some nice properties of a certain poset investigated by Balandraud. We consider an analogous poset for nonabelian groups and, by using classical tools from Additive Number Theory, extend some of the above results. In particular we obtain short proofs of Balandraud’s results in the abelian case.

Un résultat récent de Balandraud démontre que pour toute partie S d’un groupe abélien G, il existe un sous-groupe H non-trivial tel que l’inégalité |TS||T|+|S|-2 n’a lieu que si HStab(TS). On remarque que le théorème de Kneser n’implique que l’inégalité {1}Stab(TS).

Ce renforcement du théorème de Kneser se déduit des propriétés plaisantes d’un certain ensemble partiellement ordonné étudié par Balandraud. Nous considérons un ensemble partiellement ordonné analogue pour les groupes non forcément abéliens et à l’aide d’outils classiques de théorie additive des nombres, généralisons certains des résultats suscités. En particulier nous obtenons des démonstrations courtes des résultats de Balandraud dans le cas abélien.

Received:
Published online:
DOI: 10.5802/jtnb.618
Yahya Ould Hamidoune 1; Oriol Serra 2; Gilles Zémor 3

1 Université Pierre et Marie Curie, Paris 6 Combinatoire et Optimisation - case 189 4 place Jussieu 75252 Paris Cedex 05, France
2 Universitat Politècnica de Catalunya Matemàtica Aplicada IV Campus Nord - Edif. C3 C. Jordi Girona, 1-3 08034 Barcelona, Spain.
3 Institut de Mathématiques de Bordeaux Université de Bordeaux 1 351 cours de la Libération 33405 Talence, France.
@article{JTNB_2008__20_1_125_0,
     author = {Yahya Ould Hamidoune and Oriol Serra and Gilles Z\'emor},
     title = {On some subgroup chains related to {Kneser{\textquoteright}s} theorem},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
     pages = {125--130},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux 1},
     volume = {20},
     number = {1},
     year = {2008},
     doi = {10.5802/jtnb.618},
     mrnumber = {2434160},
     zbl = {1197.11016},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.618/}
}
TY  - JOUR
TI  - On some subgroup chains related to Kneser’s theorem
JO  - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
PY  - 2008
DA  - 2008///
SP  - 125
EP  - 130
VL  - 20
IS  - 1
PB  - Université Bordeaux 1
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.618/
UR  - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2434160
UR  - https://zbmath.org/?q=an%3A1197.11016
UR  - https://doi.org/10.5802/jtnb.618
DO  - 10.5802/jtnb.618
LA  - en
ID  - JTNB_2008__20_1_125_0
ER  - 
%0 Journal Article
%T On some subgroup chains related to Kneser’s theorem
%J Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
%D 2008
%P 125-130
%V 20
%N 1
%I Université Bordeaux 1
%U https://doi.org/10.5802/jtnb.618
%R 10.5802/jtnb.618
%G en
%F JTNB_2008__20_1_125_0
Yahya Ould Hamidoune; Oriol Serra; Gilles Zémor. On some subgroup chains related to Kneser’s theorem. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 20 (2008) no. 1, pp. 125-130. doi : 10.5802/jtnb.618. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.618/

[1] E. Balandraud, Une variante de la méthode isopérimétrique de Hamidoune, appliquée au théorème de Kneser. Annales de l’institut Fourier, to appear.

[2] E. Balandraud, Quelques résultats combinatoires en théorie additive des nombres. Thèse de doctorat de l’Université de Bordeaux I, May 2006.

[3] D. Grynkiewicz, A step beyond Kemperman’s structure Theorem. Preprint Oct. 2007.

[4] J. H. B. Kemperman, On small sumsets in Abelian groups. Acta Math. 103 (1960), 66–88. | MR: 110747 | Zbl: 0108.25704

[5] M. Kneser, Abschätzung der asymptotischen Dichte von Summenmengen. Math. Zeit. 58 (1953), 459–484. | MR: 56632 | Zbl: 0051.28104

[6] M. Kneser, Summenmengen in lokalkompakten abelesche Gruppen. Math. Zeit. 66 (1956), 88–110. | MR: 81438 | Zbl: 0073.01702

[7] R. A. Lee, Proving Kneser’s theorem for finite groups by another e-transform. Proc. Amer. Math. Soc. 44 (1974), 255–258. | Zbl: 0316.20023

[8] H. B. Mann, Addition Theorems. R.E. Krieger, New York, 1976. | MR: 424744

[9] M. B. Nathanson, Additive Number Theory. Inverse problems and the geometry of sumsets. Grad. Texts in Math. 165, Springer, 1996. | MR: 1477155 | Zbl: 0859.11003

[10] J. E. Olson, On the symmetric difference of two sets in a group. European J. Combin. 7 (1986), 43–54. | MR: 850143 | Zbl: 0597.05012

[11] T. Tao, V. H. Vu, Additive Combinatorics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 105, Cambridge University Press, 2006. | MR: 2289012 | Zbl: 1127.11002

Cited by Sources: