Local distinction, quadratic base change and automorphic induction for GL n
Nadir Matringe1
1 Université Paris Cité, France
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 3, pp. 903-916.

Ce titre sophistiqué dissimule un exercice élémentaire sur la théorie de Clifford pour les sous-groupes d’indice deux et les représentations auto-duales ou conjuguées-duales. Appliqué aux représentations du groupe Weil–Deligne W F ′ d’un corps local non archimédien F, puis interprété en termes de représentations de GL n (F) via correspondance de Langlands locale lorsque F est de caractéristique nulle, l’exercice en question établit divers énoncés concernant le comportememnt de différents types de distinction sous changement de base et induction automorphe quadratiques. Lorsque F est de caractéristique résiduelle non 2, en combinant un des résultats simples obtenus ici avec la trivialité des valeurs centrales de facteurs epsilon des représentations de W F ′ conjuguées-orthogonales ([8]), nous retrouvons sans faire appel à la correspondance de Langlands locale un résultat de Serre sur la parité du conducteur d’Artin de ces représentations ([23]). D’autre part, nous discutons cette parité pour les représentations symplectiques à l’aide de la correspondance de Langlands locale et de la conjecture dite de Prasad et Takloo-Bighash.

Behind this sophisticated title hides an elementary exercise on Clifford theory for index two subgroups and self-dual or conjugate-dual representations. When applied to semi-simple representations of the Weil–Deligne group W F ′ of a non Archimedean local field F, and further translated in terms of representations of GL n (F) via the local Langlands correspondence when F has characteristic zero, it yields various statements concerning the behaviour of different types of distinction under quadratic base change and automorphic induction. When F has residual characteristic different from 2, combining of one of the simple results that we obtain with the tiviality of conjugate-orthogonal root numbers ([8]), we recover without using the LLC a result of Serre on the parity of the Artin conductor of orthogonal representations of W F ′ ([23]). On the other hand we discuss its parity for symplectic representations using the LLC and the Prasad and Takloo-Bighash conjecture.

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DOI : 10.5802/jtnb.1233
Classification : 1170, 22E50
Mots clés : Représentations galoisiennes locales, représentations distinguées, conducteur d’Artin
Nadir Matringe 1

1 Université Paris Cité, France
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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Nadir Matringe. Local distinction, quadratic base change and automorphic induction for $\protect \mathrm{GL}_n$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 3, pp. 903-916. doi : 10.5802/jtnb.1233. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1233/

[1] U. K. Anandavardhanan; Anthony C. Kable; Rajat Tandon Distinguished rep- resentations and poles of twisted tensor L-functions, Proc. Am. Math. Soc., Volume 132 (2004) no. 10, pp. 2875-2883 | DOI | Zbl

[2] U. K. Anandavardhanan; Robert Kurinczuk; Nadir Matringe; Vincent Sécherre; Shaun Stevens Galois self-dual cuspidal types and Asai local factors, J. Eur. Math. Soc., Volume 23 (2021) no. 9, pp. 3129-3191 | DOI | Zbl

[3] U. K. Anandavardhanan; Conjeeveram S. Rajan Distinguished representations, base change, and reducibility for unitary groups, Int. Math. Res. Not., Volume 2005 (2005) no. 14, pp. 841-854 | DOI | Zbl

[4] Colin J. Bushnell; Guy Henniart The local Langlands conjecture for GL(2), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 335, Springer, 2006 | DOI

[5] Tullio Ceccherini-Silberstein; Fabio Scarabotti; Filippo Tolli Clifford theory and applications, J. Math. Sci., New York, Volume 156 (2009) no. 1, pp. 29-43 | DOI

[6] Pierre Deligne Les constantes locales de l’équation fonctionnelle de la fonction L d’Artin d’une représentation orthogonale, Invent. Math., Volume 35 (1976), pp. 299-316 | DOI | Zbl

[7] Albrecht Fröhlich; Jacques Queyrut On the functional equation of the Artin L-function for characters of real representations, Invent. Math., Volume 20 (1976), pp. 125-138 | DOI

[8] Wee Teck Gan; Benedict H. Gross; Dipendra Prasad Symplectic local root numbers, central critical L values, and restriction problems in the representation theory of classical groups, On the conjectures of Gross and Prasad. I (Astérisque), Volume 346, Société Mathématique de France, 2012, pp. 1-109 | Numdam | Zbl

[9] Benedict H. Gross; Mark Reeder Arithmetic invariants of discrete Langlands parameters, Duke Math. J., Volume 154 (2010) no. 3, pp. 431-508 | Zbl

[10] Michael Harris; Richard Taylor Regular models of certain Shimura varieties, Asian J. Math., Volume 6 (2002) no. 1, pp. 61-94 | DOI | Zbl

[11] Guy Henniart Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL(n) sur un corps p-adique, Invent. Math., Volume 139 (2000) no. 2, pp. 439-455 | DOI | Zbl

[12] Guy Henniart Correspondance de Langlands et fonctions L des carrés extérieur et symétrique, Int. Math. Res. Not., Volume 2010 (2010) no. 4, pp. 633-673 | Zbl

[13] Yeongseong Jo Derivatives and exceptional poles of the local exterior square L- function for GLm, Math. Z., Volume 294 (2020) no. 3-4, pp. 1687-1725 | Zbl

[14] Anthony C. Kable Asai L-functions and Jacquet’s conjecture, Am. J. Math., Volume 126 (2004) no. 4, pp. 789-820 | DOI | Zbl

[15] Eyal Kaplan The characterization of theta-distinguished representations of GL(n), Isr. J. Math., Volume 222 (2017) no. 2, pp. 551-598 | DOI | Zbl

[16] Pramod Kumar Kewat; Ravi Raghunathan On the local and global exterior square L-functions of GLn, Math. Res. Lett., Volume 19 (2012) no. 4, pp. 785-804 | DOI | Zbl

[17] Gerard Laumon; Michael Rapoport; Ulrich Stuhler D-elliptic sheaves and the Langlands correspondence, Invent. Math., Volume 113 (1993) no. 2, pp. 217-338 | DOI | Zbl

[18] Nadir Matringe Distinguished generic representations of GL(n) over p-adic fields, Int. Math. Res. Not., Volume 2011 (2011) no. 1, pp. 74-81 | DOI | Zbl

[19] Nadir Matringe Shalika periods and parabolic induction for GL(n) over a non- archimedean local field, Bull. Lond. Math. Soc., Volume 49 (2017) no. 3, pp. 417-427 | DOI | Zbl

[20] Arnab Mitra; Eitan Sayag Models of representations and Langlands functoriality, Can. J. Math., Volume 72 (2020) no. 3, pp. 676-707 | DOI | Zbl

[21] Allen Moy Local constants and the tame Langlands correspondence, Am. J. Math., Volume 108 (1986), pp. 863-930 | Zbl

[22] Vincent Sécherre Représentations cuspidales de GL(r,D) distinguées par une involution intérieure (2020) (https://arxiv.org/abs/2005.05615v1, to appear in Ann. Sci. Éc. Norm. Supér.)

[23] Jean-Pierre Serre Conducteurs d’Artin des caractères réels, Invent. Math., Volume 14 (1971), pp. 173-183 | DOI | Zbl

[24] Miyu Suzuki Classification of standard modules with linear periods, J. Number Theory, Volume 218 (2021), pp. 302-310 | DOI | Zbl

[25] Miyu Suzuki; Hang Xue Linear intertwining periods and epsilon dichotomy for linear models (2020) (preprint)

[26] John Tate Number theoretic background, Automorphic forms, representations and L-functions (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics), Volume 33.2, American Mathematical Society, 1979, pp. 3-26 | DOI | Zbl

[27] André Weil Basic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 144, Springer, 1974

[28] Hang Xue Epsilon dichotomy for linear models, Algebra Number Theory, Volume 15 (2021) no. 1, pp. 173-215 | Zbl

[29] Shunsuke Yamana Local symmetric square L-factors of representations of general linear groups, Pac. J. Math., Volume 286 (2017) no. 1, pp. 215-256 | DOI | Zbl

[30] Andrei V. Zelevinsky Induced representations of reductive p-adic groups. II: On irreducible representations of GL(n), Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 13 (1980), pp. 165-210 | DOI | Numdam | Zbl

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