Let be a number field and an irreducible monic polynomial with coefficients in its ring of integers. We give an effective criterion, in terms of the Galois group of over and a linear recurrent sequence associated with , allowing in some cases the characterization of the prime ideals in modulo which is totally split. If is a root of , this criterion thus gives a characterization of the prime ideals in which totally split in . A particular case in which it applies is when the degree of is at least and the Galois group of is the symmetric group or the alternating group.
Soient un corps de nombres et un polynôme irréductible unitaire à coefficients dans l’anneau d’entiers de . On se propose d’expliciter un critère effectif, en termes du groupe de Galois de sur et d’une suite récurrente linéaire associée à , permettant parfois de caractériser les idéaux premiers de modulo lesquels est totalement décomposé. Si est une racine de , ce critère fournit donc une caractérisation des idéaux premiers de qui sont totalement décomposés dans . Il s’applique en particulier si le degré de est au moins et le groupe de Galois de est le groupe symétrique ou le groupe alterné.
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Keywords: Corps de nombres, groupes de Galois, idéaux premiers, suites récurrentes linéaires, corps de classes.
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Dominique Bernardi; Alain Kraus. Idéaux premiers totalement décomposés et sommes de Newton. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 34 (2022) no. 2, pp. 517-536. doi : 10.5802/jtnb.1213. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1213/
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