Idéaux premiers totalement décomposés et sommes de Newton
Dominique Bernardi1 ; Alain Kraus1
1 Sorbonne Université, Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche UMR 7586 CNRS - Paris Diderot, 4 Place Jussieu, 75005 Paris, France
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 2, pp. 517-536.

Soient K un corps de nombres et f∈O K [X] un polynôme irréductible unitaire à coefficients dans l’anneau d’entiers de K. On se propose d’expliciter un critère effectif, en termes du groupe de Galois de f sur K et d’une suite récurrente linéaire associée à f, permettant parfois de caractériser les idéaux premiers de O K modulo lesquels f est totalement décomposé. Si α est une racine de f, ce critère fournit donc une caractérisation des idéaux premiers de O K qui sont totalement décomposés dans K(α). Il s’applique en particulier si le degré de f est au moins 4 et le groupe de Galois de f est le groupe symétrique ou le groupe alterné.

Let K be a number field and f∈O K [X] an irreducible monic polynomial with coefficients in its ring of integers. We give an effective criterion, in terms of the Galois group of f over K and a linear recurrent sequence associated with f, allowing in some cases the characterization of the prime ideals in O K modulo which f is totally split. If α is a root of f, this criterion thus gives a characterization of the prime ideals in O K which totally split in K(α). A particular case in which it applies is when the degree of f is at least 4 and the Galois group of f is the symmetric group or the alternating group.

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DOI : 10.5802/jtnb.1213
Classification : 11B83, 11R32, 11R04, 11R37, 11Y40
Mots clés : Corps de nombres, groupes de Galois, idéaux premiers, suites récurrentes linéaires, corps de classes.
Dominique Bernardi 1 ; Alain Kraus 1

1 Sorbonne Université, Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche UMR 7586 CNRS - Paris Diderot, 4 Place Jussieu, 75005 Paris, France
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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Dominique Bernardi; Alain Kraus. Idéaux premiers totalement décomposés et sommes de Newton. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 2, pp. 517-536. doi : 10.5802/jtnb.1213. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1213/

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