A Local-Global Criteria of Affine Varieties Admitting Points in Rank-One Subgroups of a Global Function Field
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 1, pp. 59-79.

Pour toute variété affine sur un corps fini, nous montrons qu’elle admet des points à coordonnées dans un sous-groupe multiplicatif de rang 1 d’un corps de fonctions global sur ce corps fini si et seulement si cette variété admet des points à coordonnées dans la clôture topologique de ce sous-groupe dans le produit des groupes multiplicatifs des complétions locales du corps de fonctions sur toutes les places sauf un nombre fini d’entre elles. Sous l’hypothèse de Riemann généralisée, nous montrons aussi que l’énoncé ci-dessus est vrai pour toute réunion finie de variétés affines linéaires sur tout corps global et pour beaucoup de sous-groupes multiplicatifs de rang 1. Dans le cas où cette réunion finie est irréductible et définie sur un corps fini, nous montrons de plus que les deux ensembles de points coincident.

For every affine variety over a finite field, we show that it admits points with coordinates in an arbitrary rank-one multiplicative subgroup of a global function field over this finite field if and only if this variety admits points with coordinates in the topological closure of this subgroup in the product of the multiplicative group of those local completion of this global function field over all but finitely many places. Under the generalized Riemann hypothesis, we also show that the above statement holds for every finite union of affine linear varieties over any global field and for many rank-one multiplicative subgroup. In the case where this finite union is irreducible and defined over a finite field, we moreover show that the topological closure of the set of all such former points is exactly the set of all such latter points.

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DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.1016
Classification : 14G05
Mots clés : local-global criteria, constant subfield, topological closure
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     author = {Chia-Liang Sun},
     title = {A {Local-Global} {Criteria} of {Affine} {Varieties} {Admitting} {Points} in {Rank-One} {Subgroups} of a {Global} {Function} {Field}},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
     pages = {59--79},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {30},
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     year = {2018},
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Chia-Liang Sun. A Local-Global Criteria of Affine Varieties Admitting Points in Rank-One Subgroups of a Global Function Field. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 1, pp. 59-79. doi : 10.5802/jtnb.1016. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1016/

[1] David Harari; José Felipe Voloch The Brauer-Manin obstruction for integral points on curves, Math. Proc. Camb. Philos. Soc., Volume 149 (2010) no. 3, pp. 413-421 | Article

[2] Hector Pasten; Chia-Liang Sun Multiplicative subgroups avoiding linear relations in finite fields and a local-global principle, Proc. Am. Math. Soc., Volume 144 (2016) no. 6, pp. 2361-2373 | Article

[3] Bjorn Poonen Heuristics for the Brauer-Manin obstruction for curves, Exp. Math., Volume 15 (2006) no. 4, pp. 415-420 | Article

[4] Thoralf Albert Skolem Anwendung exponentieller Kongruenzen zum Beweis der Unlösbarkeit gewisser diophantischer Gleichungen, Avh. Norske Vid. Akad. Oslo, Volume 1937 (1937) no. 12, pp. 1-16

[5] Chia-Liang Sun Local-global principle of affine varieties over a subgroup of units in a function field, Int. Math. Res. Not., Volume 2014 (2014) no. 11, pp. 3075-3095 | Article

[6] José Felipe Voloch The equation ax+by=1 in characteristic p, J. Number Theory, Volume 73 (1998) no. 2, pp. 195-200 | Article