Heights and representations of split tori

Valerio Talamanca

doi:10.5802/jtnb.1015

Valerio Talamanca ¹

¹ Università degli Studi Roma Tre Largo San Leonardo Murialdo 1 00146 Roma, Italy

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 30 (2018) no. 1, pp. 41-57.

Abstract
Résumé

Let $𝔾_{m}^{d}$ denote the $d$ -dimensional split torus defined over a number field $k$ . To each $𝔾_{m}^{d}$ -module $E$ we associate a height function $h_{E}$ defined by means of the spectral height on $GL (E)$ . This gives rise to a height pairing between the monoid of irreducible $𝔾_{m}^{d}$ -modules of $𝔾_{m}^{d}$ and the group $𝔾_{m}^{d} (\bar{k})$ . Our main results are a characterization of those $𝔾_{m}^{d}$ -modules $E$ for which $h_{E}$ satisfeis Northcott’s finiteness theorem, the determination of the kernels of the height pairing, as well as, for a few special classes of $𝔾_{m}^{d}$ -modules, of the group of automorphisms that preserve $h_{E}$ .

Soit $𝔾_{m}^{d}$ le tore déployé de dimension $d$ , défini sur un corps de nombres $k$ . À chaque $𝔾_{m}^{d}$ -module $E$ nous associons une fonction hauteur $h_{E}$ définie en utilisant la hauteur spectrale sur $GL (E)$ . Cela donne lieu à un accouplement de hauteur entre le monoïde des $𝔾_{m}^{d}$ -modules irréductible de $𝔾_{m}^{d}$ et le groupe $𝔾_{m}^{d} (\bar{k})$ . Nos résultats principaux sont une caractérisation de ces $𝔾_{m}^{d}$ -modules $E$ pour lequel $h_{E}$ satisfait le théorème de finitude de Northcott, la détermination des noyaux des accouplements de hauteur, ainsi que, pour quelques classes de $𝔾_{m}^{d}$ -modules $E$ , le calcul du groupe des automorphismes qui préservent $h_{E}$ .

Received: 2015-12-30
Revised: 2017-09-19
Accepted: 2017-11-16
Published online: 2018-05-14

MR Zbl

DOI: 10.5802/jtnb.1015

Classification: 11G50, 20G30
Keywords: Heights, split algebraic tori, representations

Author's affiliations:

Valerio Talamanca ¹

¹ Università degli Studi Roma Tre Largo San Leonardo Murialdo 1 00146 Roma, Italy

License:

CC-BY-ND 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

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References
Cited by

[1] Enrico Bombieri; Walter Gubler Heights in Diophantine Geometry, New Mathematical Monographs, 4, Cambridge University Press, 2006, xvi+652 pages | MR | Zbl

[2] Emmanuel Breuillard A height gap theorem for finite subsets of ${GL}_{d} (\bar{ℚ})$ and nonamenable subgroups, Ann. Math., Volume 174 (2011) no. 2, pp. 1057-1110 | DOI | MR | Zbl

[3] José Ignacio Burgos Gil; Patrice Philippon; Martín Sombra Arithmetic geometry of toric varieties. Metrics, measures and heights, Astérisque, 360, Société Mathématique de France, 2014, vi+222 pages | Numdam | Zbl

[4] Éric Gaudron Géométrie des nombres adélique et lemmes de Siegel généralisés, Manuscr. Math., Volume 130 (2009) no. 2, pp. 159-182 | DOI | MR | Zbl

[5] James E. Humphreys Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, 2, Springer, 1987 | Zbl

[6] Vincent Maillot Géométrie d’Arakelov des Variétés toriques et fibrés en droites intégrables, Mém. Soc. Math. Fr., 80, Société Mathématique de France, 2000, 129 pages | MR | Zbl

[7] André Néron Quasi-fonctions et Hauteurs sur les variétés abéliennes, Ann. Math., Volume 82 (1965), pp. 249-331 | DOI | Zbl

[8] Damien Roy; Jeffrey Lin Thunder An absolute Siegel’s lemma, J. Reine Angew. Math., Volume 476 (1996), pp. 1-26 | MR | Zbl

[9] Jean-Pierre Serre Lectures on the Mordell-Weil theorem, Aspects of Mathematics, 15, Friedr. Vieweg & Sohn, 1989, x+218 pages | Zbl

[10] Joseph H. Silverman The arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, 106, Springer, 1986, xii+400 pages | MR | Zbl

[11] Valerio Talamanca Height-preserving transformations on linear spaces, Brandeis University (USA) (1995) (Ph. D. Thesis) | MR

[12] Valerio Talamanca A note on height pairings on polarized abelian varieties, Atti Accad. Naz. Lincei, Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., Volume 10 (1999) no. 1, pp. 57-60 | MR | Zbl

[13] Valerio Talamanca A Gelfand-Beurling type formula for heights on endomorphism rings, J. Number Theory, Volume 83 (2000) no. 1, pp. 91-105 | DOI | MR | Zbl

Cited by Sources: