Heights and representations of split tori

Valerio Talamanca

doi:10.5802/jtnb.1015

Valerio Talamanca ¹

¹ Università degli Studi Roma Tre Largo San Leonardo Murialdo 1 00146 Roma, Italy

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 1, pp. 41-57.

Résumé
Abstract

Soit $𝔾_{m}^{d}$ le tore déployé de dimension $d$ , défini sur un corps de nombres $k$ . À chaque $𝔾_{m}^{d}$ -module $E$ nous associons une fonction hauteur $h_{E}$ définie en utilisant la hauteur spectrale sur $GL (E)$ . Cela donne lieu à un accouplement de hauteur entre le monoïde des $𝔾_{m}^{d}$ -modules irréductible de $𝔾_{m}^{d}$ et le groupe $𝔾_{m}^{d} (\bar{k})$ . Nos résultats principaux sont une caractérisation de ces $𝔾_{m}^{d}$ -modules $E$ pour lequel $h_{E}$ satisfait le théorème de finitude de Northcott, la détermination des noyaux des accouplements de hauteur, ainsi que, pour quelques classes de $𝔾_{m}^{d}$ -modules $E$ , le calcul du groupe des automorphismes qui préservent $h_{E}$ .

Let $𝔾_{m}^{d}$ denote the $d$ -dimensional split torus defined over a number field $k$ . To each $𝔾_{m}^{d}$ -module $E$ we associate a height function $h_{E}$ defined by means of the spectral height on $GL (E)$ . This gives rise to a height pairing between the monoid of irreducible $𝔾_{m}^{d}$ -modules of $𝔾_{m}^{d}$ and the group $𝔾_{m}^{d} (\bar{k})$ . Our main results are a characterization of those $𝔾_{m}^{d}$ -modules $E$ for which $h_{E}$ satisfeis Northcott’s finiteness theorem, the determination of the kernels of the height pairing, as well as, for a few special classes of $𝔾_{m}^{d}$ -modules, of the group of automorphisms that preserve $h_{E}$ .

Reçu le : 2015-12-30
Révisé le : 2017-09-19
Accepté le : 2017-11-16
Publié le : 2018-05-14

MR Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.1015

Classification : 11G50, 20G30
Mots clés : Heights, split algebraic tori, representations

Affiliations des auteurs :

Valerio Talamanca ¹

¹ Università degli Studi Roma Tre Largo San Leonardo Murialdo 1 00146 Roma, Italy

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Valerio Talamanca. Heights and representations of split tori. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 1, pp. 41-57. doi : 10.5802/jtnb.1015. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1015/

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