A group law on smooth real quartics having at least $3$ real branches

Johan Huisman

A group law on smooth real quartics having at least

3

real branches

Johan Huisman

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 14 (2002) no. 1, pp. 249-256.

Résumé
Abstract

Soit $C$ une courbe quartique réelle lisse dans $ℙ^{2}$ , qui admet au moins trois branches réelles $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ . On pose $B = B_{1} \times B_{2} \times B_{3}$ et soit $O \in B$ . On note $τ_{O}$ l’application de $B$ sur la composante neutre Jac $(C) {(ℝ)}^{0}$ de l’ensemble des points réels de la jacobienne de $C$ , définie en posant $τ_{O} (P)$ comme étant la classe du diviseur $\sum P_{i} - O_{i}$ . Alors, $τ_{O}$ est bijective. On montre que cela permet une description géométrique explicite de la loi de groupe sur Jac $(C) {(ℝ)}^{0}$ . Cela généralise la description géométrique classique de la loi de groupe sur la composante neutre de l’ensemble des points réels de la jacobienne d’une cubique. Si la quartique est définie sur un corps de nombres réel, alors on obtient une description géométrique d’un sous-groupe du groupe de Mordell-Weil d’indice un diviseur de $8$ .

Let $C$ be a smooth real quartic curve in $ℙ^{2}$ . Suppose that $C$ has at least $3$ real branches $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ . Let $B = B_{1} \times B_{2} \times B_{3}$ and let $O \in B$ . Let $τ_{O}$ be the map from $B$ into the neutral component Jac $(C) {(ℝ)}^{0}$ of the set of real points of the jacobian of $C$ , defined by letting $τ_{O} (P)$ be the divisor class of the divisor $\sum P_{i} - O_{i}$ . Then, $τ_{O}$ is a bijection. We show that this allows an explicit geometric description of the group law on Jac $(C) {(ℝ)}^{0}$ . It generalizes the classical geometric description of the group law on the neutral component of the set of real points of the jacobian of a cubic curve. If the quartic curve is defined over a real number field then one gets a geometric description of a subgroup of its Mordell-Weil group of index a divisor of $8$ .

MR Zbl

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Johan Huisman. A group law on smooth real quartics having at least $3$ real branches. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 14 (2002) no. 1, pp. 249-256. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2002__14_1_249_0/

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