Composition d’applications quasi-polynomiales
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 29 (2017) no. 2, pp. 569-601.

L’objet de ce travail est l’étude de la composition des applications quasi-polynomiales de dans , et plus particulièrement des applications quasi-affines, définies comme les applications quasi-polynomiales de degré au plus 1. On montre que les applications quasi-affines correspondent aux endomorphismes continus de l’algèbre des suites reconnaissables indexées par . On représente les applications quasi-affines par des suites finies d’entiers, et on donne les formules explicites sur ces suites traduisant la composition ou la réversion des fonctions quasi-affines. Enfin, est étudié un problème de coloriage équivalent à la caractérisation de telles suites pour des bijections quasi-affines.

The aim of this work is to study compositional properties of quasi-polynomial maps from to , and more particularly of quasi-affine maps, namely quasi-polynomial maps of degree at most 1. We show that quasi-affine maps correspond to continuous endomorphisms of the algebra of recognizable bi-infinite sequences. We represent quasi-affine maps by means of finite sequences of integers, and we give explicit formulae on these sequences which translate composition or reversion of quasi-affine maps. Finally, we consider a coloring problem equivalent to the characterization of such sequences for quasi-affine bijections.

Reçu le :
Révisé le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.992
Classification : 11B37
Mots clés : Bijections entre entiers rationnels, coloriages, quasi-polynômes, suites récurrentes linéaires
@article{JTNB_2017__29_2_569_0,
     author = {Razika Niboucha and Alain Salinier},
     title = {Composition d{\textquoteright}applications quasi-polynomiales},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
     pages = {569--601},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {29},
     number = {2},
     year = {2017},
     doi = {10.5802/jtnb.992},
     language = {fr},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.992/}
}
Razika Niboucha; Alain Salinier. Composition d’applications quasi-polynomiales. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 29 (2017) no. 2, pp. 569-601. doi : 10.5802/jtnb.992. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.992/

[1] Ahmed Aït-Mokhtar Endomorphismes d’algèbres de suites (2008) (Ph. D. Thesis)

[2] Ahmed Aït-Mokhtar Applications purement semi-affines et tressages, C. R., Math., Acad. Sci. Paris, Volume 348 (2010) no. 1-2, pp. 1-4 | Article

[3] Ahmed Aït-Mokhtar; Abdelkader Necer; Alain Salinier Endomorphismes d’algèbres de suites, J. Théor. Nombres Bordx., Volume 20 (2008) no. 1, pp. 1-21 | Article

[4] Benali Benzaghou Algèbres de Hadamard, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 98 (1970), pp. 209-252 | Article

[5] Jean Berstel; Christophe Reutenauer Noncommutative rational series with applications, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Volume 137, Cambridge University Press, 2011, xiii+248 pages

[6] Nicolas Bourbaki Eléments de mathématique. Algèbre Commutative. Chapitres 5 à 7, Springer, 2006, 351 pages

[7] Arthur Cayley Researches on the Partition of Numbers, Philos. Trans. Roy. Soc. London, Volume 146 (1856), pp. 127-140 | Article

[8] Jean-Luc Chabert Anneaux de Fatou, Enseign. Math., Volume 18 (1972), pp. 141-144

[9] Louis Comtet Analyse combinatoire. Tome 1, Le mathématicien, Volume 4, Presses Universitaires de France, 1970, 192 pages

[10] Eugene Ehrhart Polynômes arithmétiques et Méthode des Polyèdres en Combinatoire, International Series of Numerical Mathematics, Volume 35, Birkhäuser, 1977, 165 pages

[11] Ryszard Engelking General topology. A revised and enlarged translation, Monografie Matematyczne., Volume 60, PWN-Polish Scientific Publishers, 1977, 626 pages

[12] Graham Everest; Alf van der Poorten; Igor Shparlinski; Thomas Ward Recurrence Sequences, Mathematical Surveys and Monographs, Volume 104, American Mathematical Society, 2003, xiii+318 pages

[13] Georges Hansel Une démonstration simple du théorème de Skolem-Mahler-Lech, Theor. Comput. Sci., Volume 43 (1986) no. 1, pp. 91-98 | Article

[14] Richard G. Larson; Earl J. Taft The algebraic structure of linearly recursive sequences under Hadamard product, Isr. J. Math., Volume 72 (1990) no. 1-2, pp. 118-132 | Article

[15] Ivan Niven The asymptotic density of sequences, Bull. Am. Math. Soc., Volume 57 (1951) no. 6, pp. 420-434 | Article

[16] George Pólya Über ganzwertige ganze Funktionen, Palermo Rend., Volume 40 (1915), pp. 1-16 | Article

[17] Laurent Schwartz Analyse. 2e partie : Topologie générale et analyse fonctionnelle, Collection Enseignement des Sciences, Volume 11, Hermann, 1970, 432 pages

[18] Richard P. Stanley Enumerative combinatorics. Vol. 1, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Volume 49, Cambridge University Press, 1997, xi+326 pages (Corrected reprint of the 1986 hardback edition)