On π-exponentials II: Closed formula for the index
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 2, pp. 539-556.

Cet article poursuit la série, entamée avec [17], dédiée aux π-exponentielles de Pulita et aux équations différentielles p-adiques de rang 1 polynomiales dans une extension ultramétrique du corps des nombres p-adiques. Nous rajoutons à [17] une formule close pour l’indice. En particulier cela résoud un problème étudié dans [15]. Nous répondons également à une question [21, §2.4] de Robba sur la comparaison de la cohmologie rationnelle vers celle de Dwork (c.-à-d. la cohomologie rigide sur un disque avec coefficient). Nous indiquons même une procédure pour pallier les cas où il n’y a pas isomorphisme. Nous établissons en passant une caractérisation computationelle des équations solubles à équivalence près sur l’algèbre dague. En appendice nous déterminons la complexité polynomiale de l’algorithme déduit.

This article pursues the series, initiated by [17], dedicated to Pulita’s π-exponentials and p-adic differential equations of rank one with coefficient a polynomial in a ultrametric extension of the field of p-adic numbers. We complement [17] with a closed formula for the index. In particular this answers one problem studied in [15]. We also answer a question [21, §2.4] of Robba on the comparison from rational cohomology toward Dwork cohomology (i.e. rigid cohomology on a disk with coefficient). We also indicate a procedure to palliate the lack of isomorphy of this comparison. We establish by the way a characterisation of soluble equations up to equivalence on the dagger algebra. An appendix determine the polynomial complexity of the derived algorithm.

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DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.952
Classification : 12H25,  13F35,  14G20
Mots clés : π-exponentials; p-adic differential equations: Kernel of Frobenius endomorphism of Witt vectors over a p-adic ring; radius of convergence function; algorithm; index formula; Dwork cohomology; Rationnal cohomology; Boyarsky principle; p-adic irregularity; Swan conductor.
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     author = {Rodolphe Richard},
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Rodolphe Richard. On $\pi $-exponentials II: Closed formula for the index. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 2, pp. 539-556. doi : 10.5802/jtnb.952. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.952/

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