Hopf-Galois module structure of tame C p ×C p extensions
Paul J. Truman1
1 School of Computing and Mathematics Keele University, ST5 5BG, UK
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 28 (2016) no. 2, pp. 557-582.

Let p be an odd prime number, K a number field containing a primitive p th root of unity, and L a Galois extension of K with Galois group isomorphic to C p ×C p . We study in detail the local and global structure of the ring of integers 𝔒 L as a module over its associated order 𝔄 H in each of the Hopf algebras H giving nonclassical Hopf-Galois structures on the extension, complementing the p=2 case considered in [12]. For each Hopf algebra giving a nonclassical Hopf-Galois structure on L/K we show that 𝔒 L is locally free over its associated order 𝔄 H in H, compute local generators, and determine necessary and sufficient conditions for 𝔒 L to be free over 𝔄 H .

Soient p un nombre premier impair, K un corps de nombres contenant une racine primitive p-ième de l’unité, et L une extension galoisienne de K de groupe de Galois group isomorphe à C p ×C p . Nous étudions en détail les structures locale et globale de l’anneau des entiers 𝔒 L en tant que module sur son ordre associé 𝔄 H dans chacune des algèbres de Hopf H induisant une structure de Hopf-Galois non classique sur l’extension, complétant le cas p=2 considéré dans [12]. Pour une telle algèbre de Hopf H, nous montrons que 𝔒 L est localement libre sur 𝔄 H , calculons des générateurs locaux, et déterminons des conditions nécessaires et sufficiantes pour que 𝔒 L soit libre sur 𝔄 H .

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DOI: 10.5802/jtnb.953
Classification: 11R33, 11S23, 16T05
Keywords: Hopf-Galois theory, Galois module structure, tame extension.
Paul J. Truman 1

1 School of Computing and Mathematics Keele University, ST5 5BG, UK 
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Paul J. Truman. Hopf-Galois module structure of tame $ C_{p} \times C_{p} $ extensions. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 28 (2016) no. 2, pp. 557-582. doi : 10.5802/jtnb.953. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.953/

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