Hopf-Galois module structure of tame $ C_{p} \times C_{p} $ extensions

Paul J. Truman

doi:10.5802/jtnb.953

Hopf-Galois module structure of tame

C_{p} \times C_{p}

extensions

Paul J. Truman ¹

¹ School of Computing and Mathematics Keele University, ST5 5BG, UK

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 2, pp. 557-582.

Résumé
Abstract

Soient $p$ un nombre premier impair, $K$ un corps de nombres contenant une racine primitive $p$ -ième de l’unité, et $L$ une extension galoisienne de $K$ de groupe de Galois group isomorphe à $C_{p} \times C_{p}$ . Nous étudions en détail les structures locale et globale de l’anneau des entiers $𝔒_{L}$ en tant que module sur son ordre associé $𝔄_{H}$ dans chacune des algèbres de Hopf $H$ induisant une structure de Hopf-Galois non classique sur l’extension, complétant le cas $p = 2$ considéré dans [12]. Pour une telle algèbre de Hopf $H$ , nous montrons que $𝔒_{L}$ est localement libre sur $𝔄_{H}$ , calculons des générateurs locaux, et déterminons des conditions nécessaires et sufficiantes pour que $𝔒_{L}$ soit libre sur $𝔄_{H}$ .

Let $p$ be an odd prime number, $K$ a number field containing a primitive $p^{t h}$ root of unity, and $L$ a Galois extension of $K$ with Galois group isomorphic to $C_{p} \times C_{p}$ . We study in detail the local and global structure of the ring of integers $𝔒_{L}$ as a module over its associated order $𝔄_{H}$ in each of the Hopf algebras $H$ giving nonclassical Hopf-Galois structures on the extension, complementing the $p = 2$ case considered in [12]. For each Hopf algebra giving a nonclassical Hopf-Galois structure on $L / K$ we show that $𝔒_{L}$ is locally free over its associated order $𝔄_{H}$ in $H$ , compute local generators, and determine necessary and sufficient conditions for $𝔒_{L}$ to be free over $𝔄_{H}$ .

Reçu le : 2014-06-17
Révisé le : 2014-08-10
Accepté le : 2014-09-04
Publié le : 2017-01-02

MR Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.953

Classification : 11R33, 11S23, 16T05
Mots-clés : Hopf-Galois theory, Galois module structure, tame extension.

Affiliations des auteurs :

Paul J. Truman ¹

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Paul J. Truman. Hopf-Galois module structure of tame $ C_{p} \times C_{p} $ extensions. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 2, pp. 557-582. doi : 10.5802/jtnb.953. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.953/

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