Edwards Curves and Gaussian Hypergeometric Series
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 1, pp. 115-124.

Soit E une courbe elliptique décrite par un modèle d’Edwards ou un modèle d’Edwards tordu sur 𝔽 p , à savoir, E est définie par une des équations suivantes x 2 +y 2 =a 2 (1+x 2 y 2 ),a 5 -a0 mod p, ou, ax 2 +y 2 =1+dx 2 y 2 ,ad(a-d)0 mod p, respectivement. Nous représentons le nombre de points rationnels de E sur 𝔽 p en utilisant la série hypergéométrique de Gauss 2 F 1 φφϵ|xϵ et φ sont les caractères trivial et quadratique sur 𝔽 p , respectivement. Cette représentation nous permet d’évaluer |E(𝔽 p )| pour certaines courbes elliptiques E, et de démontrer l’existence d’isogénies entre E et des courbes elliptiques de Legendre sur 𝔽 p .

Let E be an elliptic curve described by either an Edwards model or a twisted Edwards model over 𝔽 p , namely, E is defined by one of the following equations x 2 +y 2 =a 2 (1+x 2 y 2 ),a 5 -a0 mod p, or, ax 2 +y 2 =1+dx 2 y 2 ,ad(a-d)0 mod p, respectively. We express the number of rational points of E over 𝔽 p using the Gaussian hypergeometric series 2 F 1 φφϵ|x where ϵ and φ are the trivial and quadratic characters over 𝔽 p respectively. This enables us to evaluate |E(𝔽 p )| for some elliptic curves E, and prove the existence of isogenies between E and Legendre elliptic curves over 𝔽 p .

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DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.931
Classification : 11T24,  14H52
Mots clés : Edwards Curves, Gaussian Hypergeometric Series, Finite Fields
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     author = {Mohammad Sadek and Nermine El-Sissi},
     title = {Edwards {Curves} and {Gaussian} {Hypergeometric} {Series}},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
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     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
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Mohammad Sadek; Nermine El-Sissi. Edwards Curves and Gaussian Hypergeometric Series. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 1, pp. 115-124. doi : 10.5802/jtnb.931. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.931/

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