The n-th prime asymptotically
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 25 (2013) no. 3, pp. 521-555.

Dans cet article nous donnons une nouvelle dérivation du développement asymptotique classique du n-ième nombre premier ; ainsi qu’un algorithme permettant de calculer les termes rapidement, améliorant celui de Salvy (1994).

Nous donnons des bornes réalistes de l’erreur avec li -1 (n) après avoir pris en compte les m premiers termes, pour 1m11. Finalement, en supposant l’Hypothèse de Riemann, nous donnons une estimation du meilleur r 3 possible tel que pour nr 3 on ait p n >s 3 (n)s 3 (n) désigne la somme des quatre premiers termes du développement asymptotique.

A new derivation of the classic asymptotic expansion of the n-th prime is presented. A fast algorithm for the computation of its terms is also given, which will be an improvement of that by Salvy (1994).

Realistic bounds for the error with li -1 (n), after having retained the first m terms, for 1m11, are given. Finally, assuming the Riemann Hypothesis, we give estimations of the best possible r 3 such that, for nr 3 , we have p n >s 3 (n) where s 3 (n) is the sum of the first four terms of the asymptotic expansion.

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DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.847
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Juan Arias de Reyna; Jérémy Toulisse. The $n$-th prime asymptotically. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 25 (2013) no. 3, pp. 521-555. doi : 10.5802/jtnb.847. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.847/

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