Torsors under tori and Néron models
Martin Bright1
1Mathematics Institute Zeeman Building University of Warwick Coventry CV4 7AL, UK
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 23 (2011) no. 2, pp. 309-321

Let R be a Henselian discrete valuation ring with field of fractions K. If X is a smooth variety over K and G a torus over K, then we consider X-torsors under G. If 𝒳/R is a model of X then, using a result of Brahm, we show that X-torsors under G extend to 𝒳-torsors under a Néron model of G if G is split by a tamely ramified extension of K. It follows that the evaluation map associated to such a torsor factors through reduction to the special fibre. In this way we can use the geometry of the special fibre to study the arithmetic of X.

Soit R un anneau de valuation discrète hensélien et K son corps des fractions. Si X est une variété lisse sur K et G un tore sur K, on considère les torseurs sur X sous G. Soit 𝒳/R un modèle de X ; en utilisant un résultat de Brahm, on montre que les torseurs sur X sous G se prolongent aux torseurs sur 𝒳 sous un modèle de Néron de G si G est scindé par une extension modérément ramifiée de K. On déduit que l’application d’évaluation associée à un tel torseur se factorise par la réduction à la fibre spéciale. On peut ainsi étudier l’arithmétique de X en utilisant la géométrie de la fibre spéciale.

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DOI: 10.5802/jtnb.763
Classification: 14G20, 14G05, 14F20, 11G25
Keywords: Torsors; Néron models

Martin Bright  1

1 Mathematics Institute Zeeman Building University of Warwick Coventry CV4 7AL, UK 
Martin Bright. Torsors under tori and Néron models. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 23 (2011) no. 2, pp. 309-321. doi: 10.5802/jtnb.763
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