Commentaires sur quelques résultats sur les nombres de Pisot

Toufik Zaimi

doi:10.5802/jtnb.729

Toufik Zaimi ¹

¹ Département de mathématiques Université Larbi Ben M’hidi Oum El Bouaghi 04000, Algérie

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 22 (2010) no. 2, pp. 513-524.

Abstract
Résumé

Comments on some results about Pisot numbers.

Using some results of Yves Meyer on harmonious sets, we prove that a real number $θ > 1$ is a Pisot number if and only if $A_{[θ]} \cup (- A_{[θ]}),$ where $A_{[θ]}$ is the set of polynomials with coefficients in ${0, 1, . . ., [θ]}$ evaluated at $θ,$ is a Meyer set. This allows us to deduce certain related results of Y. Bugeaud or P. Erdös and V. Komornik. By the same tools we also show that for $ε \in] 0, 1],$ the set of $ε$ -Pisot numbers which are contained in a real algebraic number field $K$ and have the same degree as $K,$ is a Meyer set.

Soit $θ$ un nombre réel, avec $θ > 1,$ et soit $A_{[θ]}$ l’ensemble des nombres $P (θ)$ pour $P$ décrivant les polynômes à coefficients dans ${0, 1, . . ., [θ]} .$ En utilisant des résultats d’Yves Meyer sur les ensembles harmonieux, on montre que $θ$ est un nombre de Pisot si et seulement si l’ensemble $A_{[θ]} \cup (- A_{[θ]})$ est un ensemble de Meyer, et on déduit quelques résultats déjà prouvés par Y. Bugeaud ou P. Erdös et V. Komornik, sur le spectre des nombres de Pisot. Les mêmes outils permettent aussi de montrer que pour $ε \in] 0, 1],$ les $ε$ -nombres de Pisot appartenant à un corps de nombres algébriques réel $K,$ et de degré égal à celui de $K,$ forment un ensemble de Meyer.

MR Zbl

DOI: 10.5802/jtnb.729

Author's affiliations:

Toufik Zaimi ¹

¹ Département de mathématiques Université Larbi Ben M’hidi Oum El Bouaghi 04000, Algérie

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Toufik Zaimi. Commentaires sur quelques résultats sur les nombres de Pisot. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 22 (2010) no. 2, pp. 513-524. doi : 10.5802/jtnb.729. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.729/

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