The exact order of discrepancy for Levin’s normal number in base 2
Roswitha Hofer1 ; Gerhard Larcher1
1 Institute of Financial Mathematics and Applied Number Theory, Johannes Kepler University Linz Altenbergerstraße 69, 4040 Linz, Austria
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 3, pp. 999-1023.

Dans [4], Mordechay B. Levin a construit un nombre α qui est normal en base 2 et tel que la suite {2 n α} n=0,1,2,... a une très faible discrépance D N . En effet, nous avons N·D N =𝒪(logN) 2 . Cela signifie que α est un nombre normal de très haute qualité. Dans cet article, nous montrons que cette estimation est la meilleure possible, c’est-à-dire que N·D N ≥c·(logN) 2 pour une infinité de N.

Mordechay B. Levin in [4] has constructed a number α which is normal in base 2, and such that the sequence {2 n α} n=0,1,2,... has very small discrepancy D N . Indeed we have N·D N =𝒪(logN) 2 . That means, that α is normal of extremely high quality. In this paper we show that this estimate is best possible, i.e., N·D N ≥c·(logN) 2 for infinitely many N.

Reçu le :
Révisé le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/jtnb.1271
Classification : 11K16, 11K38
Mots clés : normal numbers, Levin’s number, uniform distribution of sequences, discrepancy
Roswitha Hofer 1 ; Gerhard Larcher 1

1 Institute of Financial Mathematics and Applied Number Theory, Johannes Kepler University Linz Altenbergerstraße 69, 4040 Linz, Austria
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
@article{JTNB_2023__35_3_999_0,
     author = {Roswitha Hofer and Gerhard Larcher},
     title = {The exact order of discrepancy for {Levin{\textquoteright}s} normal number in base 2},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {999--1023},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {35},
     number = {3},
     year = {2023},
     doi = {10.5802/jtnb.1271},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1271/}
}
TY  - JOUR
AU  - Roswitha Hofer
AU  - Gerhard Larcher
TI  - The exact order of discrepancy for Levin’s normal number in base 2
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2023
SP  - 999
EP  - 1023
VL  - 35
IS  - 3
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1271/
DO  - 10.5802/jtnb.1271
LA  - en
ID  - JTNB_2023__35_3_999_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Roswitha Hofer
%A Gerhard Larcher
%T The exact order of discrepancy for Levin’s normal number in base 2
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2023
%P 999-1023
%V 35
%N 3
%I Société Arithmétique de Bordeaux
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1271/
%R 10.5802/jtnb.1271
%G en
%F JTNB_2023__35_3_999_0
Roswitha Hofer; Gerhard Larcher. The exact order of discrepancy for Levin’s normal number in base 2. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 3, pp. 999-1023. doi : 10.5802/jtnb.1271. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1271/

[1] Verónica Becher; Olivier Carton Normal numbers and nested perfect necklaces, Complexity, Volume 54 (2019), 101403, p. 12 | MR | Zbl

[2] Sandor Gál; Lovak Gál The discrepancy of the sequence (2 n x), Indag. Math., Volume 26 (1964), pp. 129-143 | Zbl

[3] Nikolai M. Korobov Numbers with bounded quotient and their applications to questions of Diophantine approximation, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., Volume 19 (1955) no. 5, pp. 361-380 | MR | Zbl

[4] Mordekhai B. Levin On the discrepancy estimate of normal numbers, Acta Arith., Volume 88 (1999) no. 2, pp. 99-111 | DOI | MR | Zbl

[5] Johann Schiffer Discrepancy of normal numbers, Acta Arith., Volume 47 (1986), pp. 175-186 | DOI | MR | Zbl

[6] Wolfgang M. Schmidt Irregularities of distribution VII, Acta Arith., Volume 21 (1972), pp. 45-50 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :