Reverse engineered Diophantine equations over $\mathbb{Q}$

Katerina Santicola

doi:10.5802/jtnb.1268

Reverse engineered Diophantine equations over

ℚ

Katerina Santicola ¹

¹ Mathematics Institute University of Warwick CV4 7AL United Kingdom

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 3, pp. 897-904.

Résumé
Abstract

Soit $𝒫_{ℚ} = {α^{n} : α \in ℚ, n \geq 2}$ l’ensemble des puissances parfaites rationnelles, et soit $S$ un sous-ensemble fini de $𝒫_{ℚ}$ . Nous prouvons l’existence d’un polynôme $f_{S} \in ℤ [X]$ tel que $f (ℚ) \cap 𝒫_{ℚ} = S$ . Ceci généralise un théorème récent de Gajović qui a démontré un résultat similaire pour les sous-ensembles finis de puissances parfaites entières. Notre approche fait appel à la résolution de l’équation de Fermat généralisée de signature $(2, 4, n)$ dans [2, 4, 7], ainsi qu’à la finitude des puissances parfaites dans les suites récurrentes binaires non dégénérées, prouvée par Pethő et par Shorey et Stewart.

Let $𝒫_{ℚ} = {α^{n} : α \in ℚ, n \geq 2}$ be the set of rational perfect powers, and let $S$ be a finite subset of $𝒫_{ℚ}$ . We prove the existence of a polynomial $f_{S} \in ℤ [X]$ such that $f (ℚ) \cap 𝒫_{ℚ} = S$ . This generalizes a recent theorem of Gajović who proved a similar result for finite subsets of integer perfect powers. Our approach makes use of the resolution of the generalized Fermat equation of signature $(2, 4, n)$ in [2, 4, 7], as well as the finiteness of perfect powers in non-degenerate binary recurrence sequences, proved by Pethő and by Shorey and Stewart.

Reçu le : 2022-08-26
Révisé le : 2022-11-16
Accepté le : 2022-12-14
Publié le : 2024-03-04

DOI : 10.5802/jtnb.1268

Classification : 11D41, 11D61
Mots clés : Diophantine equations, rational points

Affiliations des auteurs :

Katerina Santicola ¹

¹ Mathematics Institute University of Warwick CV4 7AL United Kingdom

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Katerina Santicola. Reverse engineered Diophantine equations over $\mathbb{Q}$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 35 (2023) no. 3, pp. 897-904. doi : 10.5802/jtnb.1268. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1268/

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