A note on finite embedding problems with nilpotent kernel
Arno Fehm1 ; François Legrand2
1 Institut für Algebra Fakultät Mathematik, TU Dresden 01062 Dresden, Germany
2 Normandie Univ., UNICAEN, CNRS Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme 14000 Caen, France
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 2, pp. 549-562.

Le premier objectif de cet article est de combler une lacune de la littérature en montrant que, si K est un corps global et si 𝒮 est un ensemble fini de places de K, alors tout problème de plongement fini scindé G→Gal(L/K) sur K à noyau nilpotent admet une solution Gal(F/K)→G telle que toutes les places dans 𝒮 soient totalement décomposées dans F/L. Nous appliquons ensuite cela à la théorie inverse de Galois sur les corps non nécessairement commutatifs. Tout d’abord, étant donné un corps de nombres K de niveau au moins 4, nous montrons que tout groupe fini résoluble est groupe de Galois sur le corps des quaternions H K à coefficients dans K. Ensuite, étant donné un problème de plongement fini scindé à noyau nilpotent sur un corps fini K, nous décrivons complètement les automorphismes σ de K pour lesquels le problème de plongement admet une solution sur le corps de fractions K(T,σ) de l’anneau de polynômes K[T,σ].

The first aim of this note is to fill a gap in the literature by proving that, given a global field K and a finite set 𝒮 of primes of K, every finite split embedding problem G→Gal(L/K) over K with nilpotent kernel has a solution Gal(F/K)→G such that all primes in 𝒮 are totally split in F/L. We then apply this to inverse Galois theory over division rings. Firstly, given a number field K of level at least 4, we show that every finite solvable group occurs as a Galois group over the division ring H K of quaternions with coefficients in K. Secondly, given a finite split embedding problem with nilpotent kernel over a finite field K, we fully describe for which automorphisms σ of K the embedding problem acquires a solution over the skew field of fractions K(T,σ) of the twisted polynomial ring K[T,σ].

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DOI : 10.5802/jtnb.1215
Classification : 12F12, 12E30, 11R32, 12E15, 11R52
Mots clés : Finite embedding problems, global fields, inverse Galois theory, division rings, quaternions
Arno Fehm 1 ; François Legrand 2

1 Institut für Algebra Fakultät Mathematik, TU Dresden 01062 Dresden, Germany
2 Normandie Univ., UNICAEN, CNRS Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme 14000 Caen, France
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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Arno Fehm; François Legrand. A note on finite embedding problems with nilpotent kernel. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 2, pp. 549-562. doi : 10.5802/jtnb.1215. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1215/

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