Special values of triple-product $p$-adic L-functions and non-crystalline diagonal classes

Francesca Gatti; Xavier Guitart; Marc Masdeu; Victor Rotger

doi:10.5802/jtnb.1179

Special values of triple-product

p

-adic L-functions and non-crystalline diagonal classes

Francesca Gatti ¹ ; Xavier Guitart ² ; Marc Masdeu ³ ; Victor Rotger ¹

¹ Departament de Matemàtiques Universitat Politècnica de Catalunya Edifici Omega, Campus Nord Carrer de Jordi Girona 1–3 08034 Barcelona, Catalonia
² Departament de Matemàtiques i Informàtica Universitat de Barcelona Gran via de les Corts Catalanes 585 08007 Barcelona, Catalonia
³ Departament de Matemàtiques Universitat Autònoma de Barcelona Edicifi C, Universitat Autònoma de Barcelona 08193 Bellaterra, Catalonia

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 33 (2021) no. 3.1, pp. 809-834.

Résumé
Abstract

L’objectif principal de cette note est de comprendre l’arithmétique encodée dans la valeur de la fonction $L$ $p$ -adique $Ł_{p}^{g} (f, g, h)$ associée à un triplet de formes modulaires $(f, g, h)$ de poids $(2, 1, 1)$ , dans le cas où la fonction $L$ classique $L (f \otimes g \otimes h, s)$ (qui est généralement de signe $+ 1$ ) ne s’annule pas au point central critique $s = 1$ . Lorsque $f$ correspond à une courbe elliptique $E / ℚ$ et la fonction $L$ classique s’annule, la conjecture elliptique de Stark de Darmon–Lauder–Rotger prédit que soit la valeur $Ł_{p}^{g} (f, g, h) (2, 1, 1)$ est $0$ (lorsque l’ordre d’annulation de la fonction $L$ complexe est $> 2$ ), soit elle est liée aux logarithmes des points globaux sur $E$ et à une certaine unité de Gross–Stark associée à $g$ (lorsque l’ordre d’annulation est exactement $2$ ). Nous complétons la conjecture de Stark elliptique en donnant une formule pour la valeur $Ł_{p}^{g} (f, g, h) (2, 1, 1)$ dans le cas où $L (f \otimes g \otimes h, 1) \neq 0$ .

The main purpose of this note is to understand the arithmetic encoded in the special value of the $p$ -adic $L$ -function $Ł_{p}^{g} (f, g, h)$ associated to a triple of modular forms $(f, g, h)$ of weights $(2, 1, 1)$ , in the case where the classical $L$ -function $L (f \otimes g \otimes h, s)$ (which typically has sign $+ 1$ ) does not vanish at its central critical point $s = 1$ . When $f$ corresponds to an elliptic curve $E / ℚ$ and the classical $L$ -function vanishes, the Elliptic Stark Conjecture of Darmon–Lauder–Rotger predicts that $Ł_{p}^{g} (f, g, h) (2, 1, 1)$ is either $0$ (when the order of vanishing of the complex $L$ -function is $> 2$ ) or related to logarithms of global points on $E$ and a certain Gross–Stark unit associated to $g$ (when the order of vanishing is exactly $2$ ). We complete the picture proposed by the Elliptic Stark Conjecture by providing a formula for the value $Ł_{p}^{g} (f, g, h) (2, 1, 1)$ in the case where $L (f \otimes g \otimes h, 1) \neq 0$ .

Reçu le : 2020-01-16
Révisé le : 2020-10-22
Accepté le : 2020-12-12
Publié le : 2022-01-26

DOI : 10.5802/jtnb.1179

Classification : 11G40, 11F85
Mots clés : $p$-adic $L$-functions, Selmer groups, elliptic curves

Affiliations des auteurs :

Francesca Gatti ¹ ; Xavier Guitart ² ; Marc Masdeu ³ ; Victor Rotger ¹

¹ Departament de Matemàtiques Universitat Politècnica de Catalunya Edifici Omega, Campus Nord Carrer de Jordi Girona 1–3 08034 Barcelona, Catalonia
² Departament de Matemàtiques i Informàtica Universitat de Barcelona Gran via de les Corts Catalanes 585 08007 Barcelona, Catalonia
³ Departament de Matemàtiques Universitat Autònoma de Barcelona Edicifi C, Universitat Autònoma de Barcelona 08193 Bellaterra, Catalonia

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Francesca Gatti; Xavier Guitart; Marc Masdeu; Victor Rotger. Special values of triple-product $p$-adic L-functions and non-crystalline diagonal classes. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 33 (2021) no. 3.1, pp. 809-834. doi : 10.5802/jtnb.1179. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1179/

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