The endomorphism ring of projectives and the Bernstein centre
Alexandre Pyvovarov1
1 Morningside Center of Mathematics No.55 Zhongguancun Donglu Academy of Mathematics and Systems Science Beijing Haidian District 100190, China
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 32 (2020) no. 1, pp. 49-71.

Soient F un corps local non-archimédien et 𝒪 F son anneau des entiers. Soit Ω une composante de Bernstein de la catégorie des représentations lisses de GL n (F). Soient (J,λ) un Ω-type de Bushnell–Kutzko et ℨ Ω le centre de Bernstein de la composante Ω. Soit σ un facteur direct de Ind J GL n (𝒪 F ) λ. Nous commençons par calculer c--Ind GL n (𝒪 F ) GL n (F) σ⊗ ℨ Ω κ(𝔪), où κ(𝔪) est le corps résiduel de ℨ Ω en un idéal maximal 𝔪, et 𝔪 appartient à un ensemble Zariski dense dans Specℨ Ω .

Ce résultat nous permet ensuite de déduire que l’anneau des endomorphismes End GL n (F) (c--Ind GL n (𝒪 F ) GL n (F) σ) est isomorphe à ℨ Ω , si σ apparait avec multiplicité un dans Ind J GL n (𝒪 F ) λ.

Let F be a local non-archimedean field and 𝒪 F its ring of integers. Let Ω be a Bernstein component of the category of smooth representations of GL n (F), let (J,λ) be a Bushnell–Kutzko Ω-type, and let ℨ Ω be the centre of the Bernstein component Ω. Let σ be a direct summand of Ind J GL n (𝒪 F ) λ. We will begin by computing c--Ind GL n (𝒪 F ) GL n (F) σ⊗ ℨ Ω κ(𝔪), where κ(𝔪) is the residue field at maximal ideal 𝔪 of ℨ Ω , and the maximal ideal 𝔪 belongs to a Zariski-dense set in Specℨ Ω .

This result will allow us to deduce that the endomorphism ring End GL n (F) (c--Ind GL n (𝒪 F ) GL n (F) σ) is isomorphic to ℨ Ω , when σ appears with multiplicity one in Ind J GL n (𝒪 F ) λ.

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DOI : 10.5802/jtnb.1111
Classification : 22E50, 11F70
Mots clés : smooth representations, $p$-adic groups, Bernstein centre
Alexandre Pyvovarov 1

1 Morningside Center of Mathematics No.55 Zhongguancun Donglu Academy of Mathematics and Systems Science Beijing Haidian District 100190, China
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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Alexandre Pyvovarov. The endomorphism ring of projectives and the Bernstein centre. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 32 (2020) no. 1, pp. 49-71. doi : 10.5802/jtnb.1111. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1111/

[1] Hyman Bass Algebraic K-theory, Mathematics Lecture Note Series, W. A. Benjamin, 1968, xx+762 pages | MR | Zbl

[2] Joseph N. Bernstein Le “centre” de Bernstein, Representations of reductive groups over a local field (Travaux en Cours), Hermann, 1984, pp. 1-32 | MR | Zbl

[3] Nicolas Bourbaki Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 1 à 4, Masson, 1985, 362 pages | MR | Zbl

[4] Nicolas Bourbaki Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 5 à 7, Masson, 1985, 351 pages | MR | Zbl

[5] Nicolas Bourbaki Algebra II. Chapters 4–7, Elements of Mathematics, Springer, 2003, viii+461 pages (translated from the 1981 French edition by P. M. Cohn and J. Howie, Reprint of the 1990 English edition) | DOI | MR | Zbl

[6] Nicolas Bourbaki Éléments de mathématique. Algèbre. Chapitre 8. Modules et anneaux semi-simples, Springer, 2012, x+489 pages (second revised edition of the 1958 edition) | DOI | MR | Zbl

[7] Colin J. Bushnell; Philip C. Kutzko The admissible dual of GL (N) via compact open subgroups, Annals of Mathematics Studies, 129, Princeton University Press, 1993, xii+313 pages | DOI | MR | Zbl

[8] Colin J. Bushnell; Philip C. Kutzko Smooth representations of reductive p-adic groups: structure theory via types, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 77 (1998) no. 3, pp. 582-634 | DOI | MR | Zbl

[9] Colin J. Bushnell; Philip C. Kutzko Semisimple types in GL n , Compos. Math., Volume 119 (1999) no. 1, pp. 53-97 | DOI | MR | Zbl

[10] Ana Caraiani; Matthew Emerton; Toby Gee; David Geraghty; Vytautas Paškūnas; Sug Woo Shin Patching and the p-adic local Langlands correspondence, Camb. J. Math., Volume 4 (2016) no. 2, pp. 197-287 | DOI | MR | Zbl

[11] Jean-François Dat Caractères à valeurs dans le centre de Bernstein, J. Reine Angew. Math., Volume 508 (1999), pp. 61-83 | DOI | MR | Zbl

[12] Jean-François Dat Types et inductions pour les représentations modulaires des groupes p-adiques, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 32 (1999) no. 1, pp. 1-38 (with an appendix by Marie-France Vignéras) | DOI | Numdam | MR | Zbl

[13] David Helm The Bernstein center of the category of smooth W(k)[ GL n (F)]-modules, Forum Math. Sigma, Volume 4 (2016), e11, 98 pages | DOI | MR | Zbl

[14] Chris Jantzen On the Iwahori-Matsumoto involution and applications, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 28 (1995) no. 5, pp. 527-547 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[15] Alexandre Pyvovarov On the Breuil-Schneider conjecture: Generic case (2018) (https://arxiv.org/abs/1803.01610)

[16] David Renard Représentations des groupes réductifs p-adiques, Contributions in Mathematical and Computational Sciences, 17, Société Mathématique de France, 2010, vi+332 pages | MR | Zbl

[17] Peter Schneider; Ernst-Wilhelm Zink K-types for the tempered components of a p-adic general linear group, J. Reine Angew. Math., Volume 517 (1999), pp. 161-208 (with an appendix by Schneider and U. Stuhler) | DOI | MR | Zbl

[18] Richard G. Swan Projective modules over Laurent polynomial rings, Trans. Am. Math. Soc., Volume 237 (1978), pp. 111-120 | DOI | MR | Zbl

[19] Andreĭ V. Zelevinsky Induced representations of reductive 𝔭-adic groups. II. On irreducible representations of GL (n), Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 13 (1980) no. 2, pp. 165-210 | DOI | Numdam | MR | Zbl

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