Periodic Jacobi–Perron expansions associated with a unit II
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 31 (2019) no. 3, pp. 603-611.

Pour toute unité d’un corps de nombres réel K de degré n+1, il n’existe qu’un nombre fini de n-uples dans K n qui ont un développement purement périodique par l’algorithme de Jacobi–Perron associé à cette unité. Nous donnons un algorithme explicite pour calculer tous ces n-uples pour tous les degrés n+1 et toutes les unités de K.

For any unit ε in a real number field K of degree n+1, there exist only a finite number of n-tuples in K n which have a purely periodic expansion by the Jacobi–Perron algorithm associated with this unit. We give an explicit algorithm to compute all these n-tuples for any degree n+1 and any unit of K.

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DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.1096
Classification : 11Y40,  11Y16
Mots clés : Jacobi–Perron algorithm, units
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     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
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     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
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Brigitte Adam; Georges Rhin. Periodic Jacobi–Perron expansions associated with a unit II. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 31 (2019) no. 3, pp. 603-611. doi : 10.5802/jtnb.1096. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1096/

[2] Brigitte Adam; Georges Rhin Periodic Jacobi-Perron expansions associated with a unit, J. Théor. Nombres Bordeaux, Volume 23 (2011) no. 3, pp. 527-539 | Article | Numdam | MR 2861074 | Zbl 1270.11068

[3] Alan Baker A concise introduction to the theory of numbers, Cambridge University Press, 1984 | MR 781734 | Zbl 0554.10001

[4] Leon Bernstein The Jacobi–Perron Algorithm, Its Theory and Applications, Lecture Notes in Mathematics, 207, Springer, 1971 | MR 285478 | Zbl 0213.05201

[5] Leon Bernstein; Helmut Hasse Einheitenberechnung mittels des Jacobi–Perronschen Algorithmus, J. Reine Angew. Math., Volume 218 (1965), pp. 51-69 | MR 180530 | Zbl 0147.03503

[6] Eugène Dubois; Ahmed Farhane; Roger Paysant-Le Roux The Jacobi-Perron algorithm and Pisot numbers, Acta Arith., Volume 111 (2004) no. 3, pp. 269-275 | Article | MR 2039226 | Zbl 1051.11037

[7] Eugène Dubois; Roger Paysant-Le Roux Développements périodiques par l’Algorithme de Jacobi–Perron et nombre de Pisot–Vijayaraghavan, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 272 (1971), pp. 649-652 | Zbl 0207.05402

[8] Eugène Dubois; Roger Paysant-Le Roux Une application des nombres de Pisot à l’algorithme de Jacobi–Perron, Monatsh. Math., Volume 98 (1984), pp. 145-155 | MR 776351 | Zbl 0543.10023

[9] Claude Levesque; Georges Rhin Two families of periodic Jacobi–Perron algorithms with period lengths going to infinity, J. Number Theory, Volume 37 (1991) no. 2, pp. 173-180 | Article | Zbl 0723.11032

[10] Oskar Perron Grundlagen für eine Theorie des Jacobischen Kettenbruchalgorithmus, Math. Ann., Volume 64 (1907), pp. 1-76 | Article | MR 1511422 | Zbl 38.0262.01

[11] Paul Voutier Families of Periodic Jacobi–Perron Algorithms for all Period Lengths, J. Number Theory, Volume 168 (2016), pp. 472-486 | Article | MR 3515830 | Zbl 1401.11011