Torsors under tori and Néron models

Martin Bright

doi:10.5802/jtnb.763

Martin Bright ¹

¹ Mathematics Institute Zeeman Building University of Warwick Coventry CV4 7AL, UK

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 23 (2011) no. 2, pp. 309-321.

Résumé
Abstract

Soit $R$ un anneau de valuation discrète hensélien et $K$ son corps des fractions. Si $X$ est une variété lisse sur $K$ et $G$ un tore sur $K$ , on considère les torseurs sur $X$ sous $G$ . Soit $𝒳 / R$ un modèle de $X$ ; en utilisant un résultat de Brahm, on montre que les torseurs sur $X$ sous $G$ se prolongent aux torseurs sur $𝒳$ sous un modèle de Néron de $G$ si $G$ est scindé par une extension modérément ramifiée de $K$ . On déduit que l’application d’évaluation associée à un tel torseur se factorise par la réduction à la fibre spéciale. On peut ainsi étudier l’arithmétique de $X$ en utilisant la géométrie de la fibre spéciale.

Let $R$ be a Henselian discrete valuation ring with field of fractions $K$ . If $X$ is a smooth variety over $K$ and $G$ a torus over $K$ , then we consider $X$ -torsors under $G$ . If $𝒳 / R$ is a model of $X$ then, using a result of Brahm, we show that $X$ -torsors under $G$ extend to $𝒳$ -torsors under a Néron model of $G$ if $G$ is split by a tamely ramified extension of $K$ . It follows that the evaluation map associated to such a torsor factors through reduction to the special fibre. In this way we can use the geometry of the special fibre to study the arithmetic of $X$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.763

Classification : 14G20, 14G05, 14F20, 11G25
Mots clés : Torsors; Néron models

Affiliations des auteurs :

Martin Bright ¹

¹ Mathematics Institute Zeeman Building University of Warwick Coventry CV4 7AL, UK

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Martin Bright. Torsors under tori and Néron models. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 23 (2011) no. 2, pp. 309-321. doi : 10.5802/jtnb.763. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.763/

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