Wintenberger’s functor for abelian extensions

Kevin Keating

doi:10.5802/jtnb.693

Kevin Keating

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 3, pp. 665-678.

Résumé
Abstract

Soit $k$ un corps fini. Wintenberger a utilisé le corps des normes pour donner une équivalence entre une catégorie dont les objets $E / F$ sont des extensions abéliennes de Lie $p$ -adiques totalement ramifiées (où $F$ est un corps local avec corps résiduel $k$ ), et une catégorie dont les objets sont des paires $(K, A)$ , où $K ≅ k ((T))$ et $A$ est un sous-groupe abélien de Lie $p$ -adique de ${Aut}_{k} (K)$ . Dans ce papier, nous étendons cette équivalence en permettant à $Gal (E / F)$ et à $A$ d’être des pro- $p$ groupes abéliens arbitraires.

Let $k$ be a finite field. Wintenberger used the field of norms to give an equivalence between a category whose objects are totally ramified abelian $p$ -adic Lie extensions $E / F$ , where $F$ is a local field with residue field $k$ , and a category whose objects are pairs $(K, A)$ , where $K ≅ k ((T))$ and $A$ is an abelian $p$ -adic Lie subgroup of ${Aut}_{k} (K)$ . In this paper we extend this equivalence to allow $Gal (E / F)$ and $A$ to be arbitrary abelian pro- $p$ groups.

Reçu le : 2008-05-18
Révisé le : 2009-03-10
Publié le : 2010-03-22

MR 2605538 | Zbl 1214.11130

DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.693

@article{JTNB_2009__21_3_665_0,
     author = {Kevin Keating},
     title = {Wintenberger's functor for abelian extensions},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
     pages = {665--678},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux 1},
     volume = {21},
     number = {3},
     year = {2009},
     doi = {10.5802/jtnb.693},
     zbl = {1214.11130},
     mrnumber = {2605538},
     language = {en},
     url = {jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2009__21_3_665_0/}
}

Kevin Keating. Wintenberger’s functor for abelian extensions. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 3, pp. 665-678. doi : 10.5802/jtnb.693. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2009__21_3_665_0/

Bibliographie

[1] K. Keating, Extensions of local fields and truncated power series. J. Number Theory 116 (2006), 69–101. | MR 2197861 | Zbl 1161.11407

[2] F. Laubie, Extensions de Lie et groupes d’automorphismes de corps locaux. Compositio Math. 67 (1988), 165–189. | Numdam | MR 951749 | Zbl 0649.12012

[3] F. Laubie, Ramification des groupes abéliens d’automorphismes de $𝔽_{q} ((X))$ . Canad. Math. Bull. 50 (2007), 594–597. | MR 2364208 | Zbl pre05289801

[4] J.-P. Serre, Corps Locaux. Hermann, 1962. | MR 354618

[5] J.-P. Wintenberger, Automorphismes des corps locaux de charactéristique $p$ . J. Théor. Nombres Bordeaux 16 (2004), 429–456. | Numdam | MR 2143563 | Zbl pre02188526

[6] J.-P. Wintenberger, Extensions abéliennes et groupes d’automorphismes de corps locaux. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 290 (1980), A201–A203. | MR 564309 | Zbl 0428.12012

[7] J.-P. Wintenberger, Le corps des normes de certaines extensions infinies de corps locaux; applications. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 16 (1983), 59–89. | Numdam | MR 719763 | Zbl 0516.12015