Nombres de Bell et somme de factorielles
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 1, pp. 1-17.

Dj. Kurepa a conjecturé que pour tout nombre premier impair, p, la somme n=0 p-1 n! n’est pas divisible par p. Cette somme est reliée aux nombres de Bell qui apparaissent en combinatoire énumérative. Nous donnons une expression du n-ième nombre de Bell modulo p comme la trace de la puissance n-ième d’un élément fixe dans l’extension d’Artin-Schreier de degré p du corps premier à p éléments. Cette expression permet de démontrer la conjecture de Kurepa en la ramenant à un problème d’algèbre linéaire.

Dj. Kurepa has conjectured that for any odd prime number p, the sum n=0 p-1 n! is not divisible by p. This sum is related to the Bell numbers that occur in enumerative combinatorics. We give a formula for the n-th Bell number modulo p as the trace of the n-th power of a fixed element in the Artin-Schreier extension of degree p of the field with p elements. This formula allows us to prove the Kurepa’s conjecture by reducing it to a linear algebra problem.

Reçu le : 2002-04-01
Publié le : 2008-12-02
DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.432
@article{JTNB_2004__16_1_1_0,
     author = {Daniel Barsky and B\'enali Benzaghou},
     title = {Nombres de Bell et somme de factorielles},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
     pages = {1--17},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux 1},
     volume = {16},
     number = {1},
     year = {2004},
     doi = {10.5802/jtnb.432},
     mrnumber = {2145571},
     zbl = {02184630},
     language = {fr},
     url = {jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2004__16_1_1_0/}
}
Daniel Barsky; Bénali Benzaghou. Nombres de Bell et somme de factorielles. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 1, pp. 1-17. doi : 10.5802/jtnb.432. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2004__16_1_1_0/

[1] D. Barsky, Analyse p-adique et nombres de Bell. C. R. Acad Sc. Paris série A, 282 (1976), 1257–1259 & Groupe d’Étude d’Analyse Ultramétrique. (Y. Amice, Ph. Robba), 3-ième année, 1975/76, exposé n 11. | Numdam | MR 422141 | Zbl 0335.12028

[2] D. Barsky & B. Benzaghou, Congruences pour les nombres de Bell, préprint, (1992).

[3] L. Comtet, Analyse Combinatoire. PUF, Collection Sup le mathématicien, Paris, 1970. | Zbl 0221.05001

[4] A. Gertsch Hamadene, Congruences pour quelques suites classiques de nombres ; sommes de factorielles et calcul ombral. Thèse présentée à la faculté des sciences pour obtenir le grade de docteur ès sciences, Université de Neuchâtel, février 1999.

[5] A. Gertsch & A. Robert, Some congruences concerning the Bell numbers. Bulletin of the Belgian Mathematical Society Simon Stevin vol. 3 (1996), 467–475. | MR 1418940 | Zbl 0869.11017

[6] A. Junod, A Generalized Trace Formula for Bell Numbers. A paraître dans Expositiones Mathematicae. | Zbl 02175363

[7] Dj. Kurepa, On the left factorial function !n. Math. Balkanica vol. 1 (1971), 147–153. | MR 286736 | Zbl 0224.10009

[8] R. Lidl & H. Niederreiter, Introduction to finite fields and their applications. Revision of the 1986 first edition. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. | MR 1294139 | Zbl 0629.12016

[9] Ch. Radoux, Nombres de Bell modulo p premier et extensions de degré p de 𝔽 p . C. R. Acad. Sc. Paris, série A, 281, séance du 24 novembre 1975, 879–882. | MR 409346 | Zbl 0327.10012

[10] A. Robert, A course in p-adic Analysis. G.T.M. 198, Springer-Verlag, 2000. | MR 1760253 | Zbl 0947.11035