Théorèmes de réflexion
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 2, pp. 399-499.

Soit K un corps de nombres contenant μ p et muni d’un groupe d’automorphismes G d’ordre étranger à p ; pour toute représentation 𝔽 p -irréductible V χ de G, de caractère χ, et tout G-module M, soit rg χ (M) l’entier r maximum tel que M/M p contienne V χ r . Nous établissons par exemple la formule générale explicite suivante : rg χ * (C T S )-rg χ (C S T )=ρ χ (T,S),T et S sont des ensembles finis disjoints de places de K tels que TS contienne les places au-dessus de p, où C T S est le groupe de classes généralisées qui correspond, par le corps de classes, au groupe de Galois de la p-extension abélienne maximale T-ramifiée, S-décomposée de K, et où ρ χ (T,S) est une expression algébrique élémentaire et * l’involution qui échange les caractères selon la dualité de Kummer classique. Cette formule, ainsi que celles obtenues en dehors de l’hypothèse sur les places au-dessus de p, conduisent à la théorie la plus générale du “Spiegelungssatz” de Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. avec conducteurs), à la généralisation d’un grand nombre de résultats isolés (notamment dans le subtil cas p=2), et enfin à des formules de rangs pour les principaux invariants arithmétiques attachés à K.

Let K be a number field containing μ p and supplied with a group of automorphisms G of prime to p order ; for all 𝔽 p -irreducible representation V χ of G, with character χ, and all G-module M, let rg χ (M) be the maximal integer r such that M/M p contains V χ r . We obtain for instance the following explicit general formula : rg χ * (C T S )-rg χ (C S T )=ρ χ (T,S), where T and S are finite disjoint sets of places of K such that TS contains all places above p, where C T S is the generalized class group corresponding, by class field theory, to the Galois group of the maximal abelian p-extension, T-ramified and S-splitted of K, and ρ χ (T,S) is an elementary algebraic expression and * the involution which acts on characters according to classical Kummer duality. This formula, and those obtained without the hypothesis about the places above p , give the most general “Spiegelungssatz” of Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. with conductors), generalizations of a great number of isolated results (especially in the subtil case p=2), and rank formulas for the main arithmetical invariants attached to K.

DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.234
Mots clés: «Spiegelungssatz» avec conducteurs, théorème de Scholz-Leopoldt-Kuroda, corps de classes, groupes de classes généralisées, unités, représentations et caractères, χ-rangs, p-rangs, extensions de Kummer, décomposition des idéaux premiers, p-ramification abélienne, conjecture de Leopoldt-Jaulent, K-théorie des anneaux d’entiers
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Georges Gras. Théorèmes de réflexion. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 2, pp. 399-499. doi : 10.5802/jtnb.234. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1998__10_2_399_0/

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