Propriétés d'invariance des mots sturmiens
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 9 (1997) no. 2, pp. 351-369.

An infinite binary word is said to be Sturmian if it is balanced and not ultimately periodic. We compute the slope and the intercept of f(x) for any Sturmian word x and any Sturmian morphism f. Using continued fraction expansions of Raney, we characterize the slopes of the words which are left invariant under a non-trivial substitution. Then we prove that the converse also holds for a particular class of sturmian words the intercept of which is an homography of the slope.

Un mot sturmien est un mot infini, binaire, équilibré et non ultimement périodique. On détermine l’évolution de la pente et de l’intercept d’un mot sturmien, sous l’action du monoïde de Sturm. À l’aide des matrices de Raney, on énonce une condition que doivent satisfaire les pentes des mots laissés fixes par une substitution non triviale. Puis on prouve que cette condition est suffisante pour un ensemble particulier de mots dont l’intercept est une homographie de la pente.

@article{JTNB_1997__9_2_351_0,
     author = {Bruno Parvaix},
     title = {Propri\'et\'es d'invariance des mots sturmiens},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {351--369},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {9},
     number = {2},
     year = {1997},
     zbl = {0904.11008},
     mrnumber = {1617403},
     language = {fr},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1997__9_2_351_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Bruno Parvaix
TI  - Propriétés d'invariance des mots sturmiens
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 1997
SP  - 351
EP  - 369
VL  - 9
IS  - 2
PB  - Université Bordeaux I
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1997__9_2_351_0/
LA  - fr
ID  - JTNB_1997__9_2_351_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Bruno Parvaix
%T Propriétés d'invariance des mots sturmiens
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 1997
%P 351-369
%V 9
%N 2
%I Université Bordeaux I
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1997__9_2_351_0/
%G fr
%F JTNB_1997__9_2_351_0
Bruno Parvaix. Propriétés d'invariance des mots sturmiens. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 9 (1997) no. 2, pp. 351-369. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1997__9_2_351_0/

[1] J. Bernoulli, Recueil pour astronomes, Berlin, (1772).

[2] J. Berstel et P. Séébold, Morphismes de Sturm, Bull. Belg. Math. Soc. 1 (1994), 175-189. | MR | Zbl

[3] J. Berstel and P. Séébold, A remark on morphic Sturmian words, Rairo Informatique théorique et applications 28 (1994), 255-263. | Numdam | MR | Zbl

[4] J.-P. Borel et F. Laubie, Quelques mots sur la droite projective réelle, J. Théorie des Nombres de Bordeaux (1993), 23-52. | Numdam | MR | Zbl

[5] T.C. Brown, A characterization of the quadratic irrationals, Canad. Math. Bull. 34 (1991), 36-41. | MR | Zbl

[6] D. Crisp, W. Moran, A. Pollington and P. Shiue, Substitution invariant cutting sequences, J. Théorie des Nombres de Bordeaux 5 (1993), 123-138. | Numdam | MR | Zbl

[7] S. Ito, On a dynamical system related to sequences nx + y - (n - 1)x + y, Collection: Dynamical Systems and Related Topics, Nagoya (1990), 192-197. | MR

[8] S. Ito and N. Hitoshi, Approximations of real numbers by the sequence {nα} and their metrical theory, Acta Math. Hungar. 52 (1988), 91-100. | Zbl

[9] S. Ito and H. Mimachi, A characterization of real quadratic numbers by Diophantine algorithms, Tokyo J. Math. 14 (1991), 251-267. | MR | Zbl

[10] S. Ito and S. Yasutomi, On Continued fractions, substitutions and characteristic sequences, Japan J. Math. 16 (1990), 287-306. | MR | Zbl

[11] T. Komatsu and A.J. Van Der Poorten, Substitution invariant Beatty sequences, Japan J. Math. 22 (1996), 349-354. | MR | Zbl

[12] M. Morse and G.A. Hedlund, Symbolic dynamics, Amer. J. Math. 60 (1938), 815-866. | JFM | MR | Zbl

[13] G.N. Raney, On continued fractions and finite automata, Math. Ann. 206 (1973), 265-283. | MR | Zbl

[14] G. Rauzy, Mots infinis en arithmétique, Lecture Notes in Computer Science 192 (1985), 165-171. | MR | Zbl

[15] P. Séébold et F. Mignosi, Morphismes sturmiens et règles de Rauzy, J. Théorie des Nombres de Bordeaux (1993), 221-233. | Numdam | MR | Zbl

[16] J. Shallit, Characteristic words as fixed points of homomorphisms, University of Waterloo, Department of Computer Science CS-91-72 (1991).