Given , a discrete and multiplicatively free subset of the open half line , let be the multiplicative semigroup generated by and . The elements of resp. are called generalized primes resp. integers. The counting functions are denoted by and . Beurling’s problem is to give conditions on which imply the “prime number theorem” . Assuming , Beurling’s condition is with > , and does not work. The article proves that the condition is sufficient, as conjectured by Bateman and Diamond.
Soit une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte , et le semi-groupe unitaire engendré par . Les éléments de s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées et ). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” . En posant , la condition de Beurling est avec , et il y a un contre-exemple avec . L’article montre que la condition est suffisante, comme l’avaient conjecturé Bateman et Diamond.
@article{JTNB_1997__9_2_251_0, author = {Jean-Pierre Kahane}, title = {Sur les nombres premiers g\'en\'eralis\'es de {Beurling.} {Preuve} d'une conjecture de {Bateman} et {Diamond}}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {251--266}, publisher = {Universit\'e Bordeaux I}, volume = {9}, number = {2}, year = {1997}, zbl = {0905.11042}, mrnumber = {1617397}, language = {fr}, url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1997__9_2_251_0/} }
TY - JOUR AU - Jean-Pierre Kahane TI - Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux PY - 1997 SP - 251 EP - 266 VL - 9 IS - 2 PB - Université Bordeaux I UR - https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1997__9_2_251_0/ LA - fr ID - JTNB_1997__9_2_251_0 ER -
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Jean-Pierre Kahane. Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 9 (1997) no. 2, pp. 251-266. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1997__9_2_251_0/
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