Dans cet article, nous donnons une minoration de la dépendance linéaire de trois nombres rationnels positifs valable sous certaines conditions faibles d’indépendance linéaire des coefficients des formes linéaires. Soit avec des entiers positifs et des rationnels multiplicativement indépendants supérieurs à . Soit où sont des entiers positifs premiers entre eux Soit et supposons que pgcd Soit et supposons que Nous démontrons que, soit est -linéairement dépendant sur (relativement à ), ou bien où et sont donnés dans les tables de la Section 6. Ici nous dirons que sont -lineairement dépendants sur si pour certains non tous nuls tels que ou bien (i) ou bien (ii) Nous obtenons en particulier and pour tout , et si nous avons et Des informations plus précises sont données dans les tables de la Section 6. Nous démontrons ce résultat en modifiant les méthodes de P. Philippon, M. Waldschmidt, G. Wüstholz, et al. En particulier, par un argument combinatoire, nous prouvons que soit une certaine variété algébrique est de dimension nulle, ou bien sont linéairement dépendants sur , avec de petits coefficients de dépendance. Cela nous permet d’améliorer le Lemme de zéros de Philippon, nous conduisant au fait que le déterminant d’interpolation reste non nul sous des conditions plus faibles.
In this paper we prove a lower bound for the linear dependence of three positive rational numbers under certain weak linear independence conditions on the coefficients of the linear forms. Let with positive integers and positive multiplicatively independent rational numbers greater than . Let with coprime positive integers . Let and assume that gcd Let and assume that We prove that either is -linearly dependent over (with respect to ) or where and are given in the tables of Section 6. Here are said to be -linearly dependent over if for some not all with either (i) or (ii) In particular, we obtain and for all values of , and for we have and . More complete information is given in the tables in Section 6. We prove this theorem by modifying the methods of P. Philippon, M. Waldschmidt, G. Wüstholz, et al. In particular, using a combinatorial argument, we prove that either a certain algebraic variety has dimension or are linearly dependent over where the dependence has small coefficients. This allows us to improve Philippon’s zero estimate, leading to the interpolation determinant being non-zero under weaker conditions.
@article{JTNB_1997__9_1_97_0, author = {Bennett, Curtis D. and Blass, Joseph and Glass, A. M. W. and Meronk, David B. and Steiner, Ray P.}, title = {Linear forms in the logarithms of three positive rational numbers}, journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux}, pages = {97--136}, publisher = {Universit\'e Bordeaux I}, volume = {9}, number = {1}, year = {1997}, doi = {10.5802/jtnb.192}, zbl = {0905.11032}, mrnumber = {1469664}, language = {en}, url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.192/} }
Curtis D. Bennett; Josef Blass; A. M. W. Glass; David B. Meronk; Ray P. Steiner. Linear forms in the logarithms of three positive rational numbers. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 9 (1997) no. 1, pp. 97-136. doi : 10.5802/jtnb.192. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.192/
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