Sur certains ensembles normaux

J.-P. Borel

J.-P. Borel

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 1 (1989) no. 1, pp. 67-79.

Abstract
Résumé

Let $Λ$ be a sequence of real numbers and $B (Λ)$ the associated normal set, i.e. the set of all real numbers $x$ such that $x Λ$ is uniformely distributed modulo one. Our main problem is the following : for a given $A \subset ℝ$ , does there exist a bounded sequence $Λ$ such that $A = B (Λ)$ ? In some particular cases, when $A \subset ℤ$ , we give an estimate of the minimal length of a bounded subinterval $I$ of $ℝ$ in which $Λ$ can be taken. We prove that to obtain such an estimate, we have to study the following problem on polynomials : for a given polynomial $P$ with no positive root, find the minimal degree $δ Q$ of those polynomials $Q$ such that the product $P . Q$ has only positive coefficients.

$Λ$ étant une suite de nombres réels, soit $B (Λ)$ l’ensemble normal associé. Pour $A \subset ℝ$ , nous étudions la question : existe-t-il une suite $Λ$ à valeurs dans un intervalle borné $I$ telle que $A = B (Λ)$ ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle $I$ . Dans les cas les plus simples, où $A \subset ℤ$ , ce problème se ramène à minimiser le degré de $Q \in ℝ [X]$ , avec la contrainte « $P Q$ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes $P$ de type très particulier associés aux ensembles $A$ .

MR Zbl

Classification: 11K06
Keywords: ensembles normaux, répartition modulo 1

@article{JTNB_1989__1_1_67_0,
     author = {J.-P. Borel},
     title = {Sur certains ensembles normaux},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {67--79},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {1},
     number = {1},
     year = {1989},
     zbl = {0719.11044},
     mrnumber = {1050266},
     language = {fr},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1989__1_1_67_0/}
}

TY  - JOUR
AU  - J.-P. Borel
TI  - Sur certains ensembles normaux
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 1989
SP  - 67
EP  - 79
VL  - 1
IS  - 1
PB  - Université Bordeaux I
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1989__1_1_67_0/
LA  - fr
ID  - JTNB_1989__1_1_67_0
ER  -

%0 Journal Article
%A J.-P. Borel
%T Sur certains ensembles normaux
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 1989
%P 67-79
%V 1
%N 1
%I Université Bordeaux I
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1989__1_1_67_0/
%G fr
%F JTNB_1989__1_1_67_0

J.-P. Borel. Sur certains ensembles normaux. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 1 (1989) no. 1, pp. 67-79. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1989__1_1_67_0/

References
Cited by

[1] A.S. Besicovitch, On the density of certain sequences of integers, Math. Annalen 110 (1934), 336-341. | JFM | MR | Zbl

[2] J.-P. Borel, Suites de longueur minimale associées à un ensemble normal donné, Israel J. of Math. 64 (1988), 229-250. | MR | Zbl

[3] J.-P. Borel, Parties d'ensembles b-normaux, Manuscripta Math. 62 (1988), 317-335. | MR | Zbl

[4] J.-P. Borel, Polynômes à coefficients positifs multiples d'un polynôme donné, exposé au colloque 50 ans sur les polynômes, (mai 1988, I.H.P.). à paraître.

[5] J.-P. Borel, Produits de convolution positifs, Publ. du dép. de Math. Université de Limoges 11 (1989). à paraître

[6] H.G. Diamond et M. Essen, Functions with non-négative convolutions, J. of Math. Analysis and Applications 63 (1978), 463-489. | MR | Zbl

[7] F. Dress, Intersection d'ensembles normaux, J. of Number Theory 2 (1970), 352-362. | MR | Zbl

[8] F. Dress et M. Mendès France, Caractérisation des ensembles normaux dans Z, Acta Arith. 17 (1970), 115-120. | MR | Zbl

[9] P. Erdôs, Note on a sequence of integers none of which is divisible by anyother, J. London Math. Soc. 10 (1935), 126-128. | JFM

[10] M. Mendès France, La réunion des ensembles normaux, J. of Number Theory 2 (1970), 345-351. | MR | Zbl

[11] E. Meissner, Über positive Darstellung von Polynomen, Math. Annalen 70 (1911), 223-235. | JFM | MR

[12] G. Rauzy, Caractérisation des ensembles normaux, Bull. Soc. Math. France 98 (1970), 401-414. | Numdam | MR | Zbl

[13] G. Tenenbaum, Un problème de probabilité conditionnnelle en arithmétique, Acta Arith. 49 (1987), 165-187. | MR | Zbl