On a theorem of Ax and Katz

Hui June Zhu

doi:10.5802/jtnb.972

Hui June Zhu ¹

¹ Department of mathematics SUNY at Buffalo Buffalo, NY 14260, USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 29 (2017) no. 1, pp. 137-150.

Abstract
Résumé

The well-known theorem of Ax and Katz gives a $p$ -divisibility bound for the number of rational points on an algebraic variety $\bar{V}$ over a finite field of characteristic $p$ in terms of the degree and number of variables of defining polynomials of $\bar{V}$ . It was strengthened by Adolphson–Sperber in terms of Newton polytope of the support set $𝒢$ of $\bar{V}$ . In this paper we prove that for every generic algebraic variety $V$ over $\bar{ℚ}$ supported on $𝒢$ the Adolphson–Sperber bound can be achieved on special fibre at $p$ for a set of prime $p$ of positive density in $Spec (ℤ)$ . Moreover, we show that if an explicitly computable combinatorial function on $𝒢$ is nonzero then the above bound is achieved at special fibre at $p$ for all large enough $p$ .

Le théorème bien connu d’Ax et Katz donne une borne sur la $p$ -divisibilité du nombre de points rationnels sur une variété algébrique $\bar{V}$ sur un corps fini de caractéristique $p$ en termes des degrés et des nombres de variables des polynômes qui definissent $\bar{V}$ . Il a été amélioré par Adolphson–Sperber en termes du polytope de Newton du support $𝒢$ de $\bar{V}$ . Dans cet article, nous démontrons que pour toute variété algébrique générique $V$ sur $\bar{ℚ}$ de support $𝒢$ , la borne de Adolphson–Sperber peut être réalisée sur la fibre spéciale en $p$ pour un ensemble de nombres premiers $p$ de densité positive dans $Spec (ℤ)$ . De plus, nous définissons une fonction de $𝒢$ , de nature combinatoire et explicitement calculable, dont la non nullité implique que la borne ci-dessus est réalisée à la fibre spéciale en $p$ pour tout $p$ assez grand.

Received: 2015-02-17
Accepted: 2015-07-06
Published online: 2017-01-26

DOI: 10.5802/jtnb.972

Classification: 11G25, 14G15
Keywords: Chevalley–Warning theorem, generic $p$-divisibility, $L$-function of exponential sums, zeros of polynomials over finite fields, Ax–Katz bound, weight of support set.

Author's affiliations:

Hui June Zhu ¹

¹ Department of mathematics SUNY at Buffalo Buffalo, NY 14260, USA

License:

CC-BY-ND 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

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