On a theorem of Ax and Katz
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 29 (2017) no. 1, pp. 137-150.

The well-known theorem of Ax and Katz gives a p-divisibility bound for the number of rational points on an algebraic variety V ¯ over a finite field of characteristic p in terms of the degree and number of variables of defining polynomials of V ¯. It was strengthened by Adolphson–Sperber in terms of Newton polytope of the support set 𝒢 of V ¯. In this paper we prove that for every generic algebraic variety V over ¯ supported on 𝒢 the Adolphson–Sperber bound can be achieved on special fibre at p for a set of prime p of positive density in Spec(). Moreover, we show that if an explicitly computable combinatorial function on 𝒢 is nonzero then the above bound is achieved at special fibre at p for all large enough p.

Le théorème bien connu d’Ax et Katz donne une borne sur la p-divisibilité du nombre de points rationnels sur une variété algébrique V ¯ sur un corps fini de caractéristique p en termes des degrés et des nombres de variables des polynômes qui definissent V ¯. Il a été amélioré par Adolphson–Sperber en termes du polytope de Newton du support 𝒢 de V ¯. Dans cet article, nous démontrons que pour toute variété algébrique générique V sur ¯ de support 𝒢, la borne de Adolphson–Sperber peut être réalisée sur la fibre spéciale en p pour un ensemble de nombres premiers p de densité positive dans Spec(). De plus, nous définissons une fonction de 𝒢, de nature combinatoire et explicitement calculable, dont la non nullité implique que la borne ci-dessus est réalisée à la fibre spéciale en p pour tout p assez grand.

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DOI: 10.5802/jtnb.972
Classification: 11G25,  14G15
Keywords: Chevalley–Warning theorem, generic p-divisibility, L-function of exponential sums, zeros of polynomials over finite fields, Ax–Katz bound, weight of support set.
Hui June Zhu 1

1 Department of mathematics SUNY at Buffalo Buffalo, NY 14260, USA
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Hui June Zhu. On a theorem of Ax and Katz. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volume 29 (2017) no. 1, pp. 137-150. doi : 10.5802/jtnb.972. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.972/

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Cited by Sources: