Lower Bounds on the Dimension of the Cohomology of Bianchi Groups via Sczech Cocyles
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 1, pp. 237-260.

En utilisant les cocyles de Sczech, nous calculons les traces de certaines involutions sur la cohomologie d’Eisenstein pour les sous-groupes de congruence principaux de groupes de Bianchi. Ces traces, combinées avec les résultats de [13, 14, 2], donnent des bornes inférieures explicites pour la cohomologie cuspidale de ces groupes. Les bornes asymptotiques inférieures qui découlent de nos résultats complètent les bornes asymptotiques supérieures récemment obtenues dans [4, 5, 12].

Using Sczech cocyles, we compute the traces of certain involutions on the Eisenstein cohomology of principal congruence subgroups of Bianchi groups. These traces, combined with results of [13, 14, 2], give explicit lower bounds for the cuspidal cohomology of these groups. The asymptotic lower bounds that follow from our results complement the recent asymptotic upper bounds found in [4, 5, 12].

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DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.937
Classification : 11F75
Mots clés : Bianchi groups, Bianchi modular forms, Lefschetz numbers
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     author = {Mehmet Haluk \c{S}eng\"un and Seyfi T\"urkelli},
     title = {Lower {Bounds} on the {Dimension} of the {Cohomology} of {Bianchi} {Groups} via {Sczech} {Cocyles}},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
     pages = {237--260},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
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Mehmet Haluk Şengün; Seyfi Türkelli. Lower Bounds on the Dimension of the Cohomology of Bianchi Groups via Sczech Cocyles. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 1, pp. 237-260. doi : 10.5802/jtnb.937. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.937/

[1] T. Berger, « On the Eisenstein ideal for imaginary quadratic fields », Compos. Math. 145 (2009), no. 3, p. 603-632. | Article | MR 2507743 | Zbl 1247.11081

[2] J. Blume-Nienhaus, Lefschetzzahlen für Galois-Operationen auf der Kohomologie arithmetischer Gruppen, Bonner Mathematische Schriften [Bonn Mathematical Publications], 230, Universität Bonn, Mathematisches Institut, Bonn, 1992, Dissertation, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn, Bonn, 1991, vi+114 pages. | Zbl 0843.11029

[3] K. S. Brown, Cohomology of groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 87, Springer-Verlag, New York, 1994, Corrected reprint of the 1982 original, x+306 pages. | Article

[4] F. Calegari & M. Emerton, « Bounds for multiplicities of unitary representations of cohomological type in spaces of cusp forms », Ann. of Math. (2) 170 (2009), no. 3, p. 1437-1446. | Article | MR 2600878 | Zbl 1195.22015

[5] T. Finis, F. Grunewald & P. Tirao, « The cohomology of lattices in SL (2,) », Experiment. Math. 19 (2010), no. 1, p. 29-63. | Article | MR 2649984 | Zbl 1225.11072

[6] G. Harder, « On the cohomology of SL(2,O) », in Lie groups and their representations (Proc. Summer School on Group Representations of the Bolyai János Math. Soc., Budapest, 1971), Halsted, New York, 1975, p. 139-150.

[7] —, « Period integrals of cohomology classes which are represented by Eisenstein series », in Automorphic forms, representation theory and arithmetic (Bombay, 1979), Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math., vol. 10, Tata Inst. Fundamental Res., Bombay, 1981, p. 41-115. | Article

[8] —, « Eisenstein cohomology of arithmetic groups. The case GL 2  », Invent. Math. 89 (1987), no. 1, p. 37-118. | Article | Zbl 0629.10023

[9] H. Ito, « A function on the upper half space which is analogous to the imaginary part of log η(z) », J. Reine Angew. Math. 373 (1987), p. 148-165. | Article | MR 870309 | Zbl 0601.10021

[10] —, « On a property of elliptic Dedekind sums », J. Number Theory 27 (1987), no. 1, p. 17-21. | Article | MR 904003 | Zbl 0624.10018

[11] N. Krämer, Beiträge zur Arithmetik imaginärquadratischer Zahlkörper, Bonner Mathematische Schriften [Bonn Mathematical Publications], 161, Universität Bonn, Mathematisches Institut, Bonn, 1985, Dissertation, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität, Bonn, 1984, 157 pages. | Zbl 0564.10025

[12] S. Marshall, « Bounds for the multiplicities of cohomological automorphic forms on GL 2  », Ann. of Math. (2) 175 (2012), no. 3, p. 1629-1651. | Article | MR 2912713 | Zbl 1319.11026

[13] J. Rohlfs, « Arithmetisch definierte Gruppen mit Galoisoperation », Invent. Math. 48 (1978), no. 2, p. 185-205. | Article | MR 507801 | Zbl 0391.14007

[14] —, « On the cuspidal cohomology of the Bianchi modular groups », Math. Z. 188 (1985), no. 2, p. 253-269. | Article | MR 772354 | Zbl 0535.20028

[15] J. Rohlfs & J. Schwermer, « An arithmetic formula for a topological invariant of Siegel modular varieties », Topology 37 (1998), no. 1, p. 149-159. | Article | MR 1480883 | Zbl 0926.11036

[16] J. Rohlfs & B. Speh, « On cuspidal cohomology of arithmetic groups and cyclic base change », Math. Nachr. 158 (1992), p. 99-108. | Article | MR 1235298 | Zbl 0780.11030

[17] R. Sczech, « Dedekind sums and power residue symbols », Compositio Math. 59 (1986), no. 1, p. 89-112. | Zbl 0604.10010

[18] J.-P. Serre, « Le problème des groupes de congruence pour SL2 », Ann. of Math. (2) 92 (1970), p. 489-527. | Article | Zbl 0239.20063

[19] G. Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Publications of the Mathematical Society of Japan, vol. 11, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1994, Reprint of the 1971 original, Kanô Memorial Lectures, 1, xiv+271 pages. | Zbl 0872.11023

[20] J. Smillie & K. Vogtmann, « Automorphisms of SL 2 of imaginary quadratic integers », Proc. Amer. Math. Soc. 112 (1991), no. 3, p. 691-699. | Article | MR 1065094 | Zbl 0733.20026

[21] U. Weselmann, « Eisensteinkohomologie und Dedekindsummen für GL 2 über imaginär-quadratischen Zahlkörpern », J. Reine Angew. Math. 389 (1988), p. 90-121. | Article | Zbl 0639.10022