The prime divisors of the number of points on abelian varieties

Antonella Perucca

doi:10.5802/jtnb.924

Antonella Perucca ¹

¹ Fakultät Mathematik Universität Regensburg Universitätsstrasse 31 93053 Regensburg GERMANY

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 27 (2015) no. 3, pp. 805-814.

Abstract
Résumé

Let $A, A^{'}$ be elliptic curves or abelian varieties fully of type $GSp$ defined over a number field $K$ . This includes principally polarized abelian varieties with geometric endomorphism ring $ℤ$ and dimension $2$ or odd. We compare the number of points on the reductions of the two varieties. We prove that $A$ and $A^{'}$ are $K$ -isogenous if the following condition holds for a density-one set of primes $𝔭$ of $K$ : the prime numbers dividing $# A (k_{𝔭})$ also divide $# A^{'} (k_{𝔭})$ . We generalize this statement to some extent for products of such varieties. This refines results of Hall and Perucca (2011) and of Ratazzi (2012).

Soient $A, A^{'}$ des courbes elliptiques ou variétés abéliennes pleinement de type $GSp$ définies sur un corps de nombres. Cette classe contient les variétés abéliennes principalement polarisées avec anneau d’endomorphismes $ℤ$ et de dimension $2$ ou impaire. On compare le nombre de points des réductions des deux variétés. On montre que $A$ et $A^{'}$ sont $K$ -isogènes si la condition suivante est satisfaite pour un ensemble d’idéaux premiers $𝔭$ de $K$ de densité $1$ : les nombres premiers qui divisent $# A (k_{𝔭})$ divisent aussi $# A^{'} (k_{𝔭})$ . On généralise ce théorème dans une certaine mesure aux produits de telles variétés. On améliore des résultats de Hall et Perucca (2011) et de Ratazzi (2012).

DOI: 10.5802/jtnb.924

Classification: 11G05, 11G10
Keywords: abelian variety of type GSp, product of elliptic curves, number of points, reduction, number field

Author's affiliations:

Antonella Perucca ¹

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Antonella Perucca. The prime divisors of the number of points on abelian varieties. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 27 (2015) no. 3, pp. 805-814. doi : 10.5802/jtnb.924. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.924/

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