Beyond two criteria for supersingularity:  coefficients of division polynomials

Christophe Debry

doi:10.5802/jtnb.881

Beyond two criteria for supersingularity: coefficients of division polynomials

Christophe Debry ¹

¹ KU Leuven and Universiteit van Amsterdam Departement Wiskunde, Celestijnenlaan 200B 3001 Leuven, Belgium

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 26 (2014) no. 3, pp. 595-605.

Abstract
Résumé

Let $f (x)$ be a cubic, monic and separable polynomial over a field of characteristic $p \geq 3$ and let $E$ be the elliptic curve given by $y^{2} = f (x)$ . In this paper we prove that the coefficient at $x^{\frac{1}{2} p (p - 1)}$ in the $p$ –th division polynomial of $E$ equals the coefficient at $x^{p - 1}$ in $f {(x)}^{\frac{1}{2} (p - 1)}$ . For elliptic curves over a finite field of characteristic $p$ , the first coefficient is zero if and only if $E$ is supersingular, which by a classical criterion of Deuring (1941) is also equivalent to the vanishing of the second coefficient. So the zero loci of the coefficients are equal; the main result in this paper is clearly stronger than this last statement.

Soit $f (x)$ un polynôme cubique, unitaire et séparable avec coefficients dans un corps de caractéristique $p \geq 3$ , et soit $E$ la courbe elliptique donnée par l’équation $y^{2} = f (x)$ . Dans cet article on démontre que le coefficient du monôme $x^{\frac{1}{2} p (p - 1)}$ dans le $p$ –ième polynôme de division de $E$ est égal au coefficient du monôme $x^{p - 1}$ dans $f {(x)}^{\frac{1}{2} (p - 1)}$ . Lorsque le corps de base est fini, le premier coefficient est nul si et seulement si $E$ est supersingulière, ce qui, par un critère classique de Deuring (1941), est équivalent à la nullité du deuxième coefficient. Donc les zéros des coefficients sont les mêmes. L’égalité des coefficients qu’on démontre dans cet article entraîne clairement cette égalité de zéros.

MR

DOI: 10.5802/jtnb.881

Author's affiliations:

Christophe Debry ¹

¹ KU Leuven and Universiteit van Amsterdam Departement Wiskunde, Celestijnenlaan 200B 3001 Leuven, Belgium

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Christophe Debry. Beyond two criteria for supersingularity:  coefficients of division polynomials. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 26 (2014) no. 3, pp. 595-605. doi : 10.5802/jtnb.881. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.881/

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