We show that given a Pisot number , for any integer large enough, there is a nonnegative primitive square matrix whose order is equal to the degree of , and the matrix admits for eingenvalue.
Let be the -expansion of . For any Pisot number , the sequence is ultimately periodic i.e., for , , and we call Parry polynomial the polynomial
We also show that there is a relatively dense set of integers such that the minimal polynomial of is equal to its Parry polynomial.
Soit un nombre de Pisot ; nous montrons que pour tout entier assez grand il existe une matrice carrée à coefficients positifs ou nuls dont l’ordre est égal au degré de et dont est valeur propre.
Soit le -développement de ; si est un nombre de Pisot, alors la suite est périodique après un certain rang (pour , ) et le polynôme
est appelé polynôme de Parry. Nous montrons qu’il existe un ensemble relativement dense d’entiers tels que le polynôme minimal de est égal à son polynôme de Parry.
Keywords: Primitive matrices ; Pisot Numbers ; numeration ; symbolic dynamics.
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Anne Bertrand-Mathis. Nombres de Pisots, matrices primitives et bêta-conjugués. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 24 (2012) no. 1, pp. 57-72. doi : 10.5802/jtnb.788. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.788/
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